Corrections de quelques exercices de la feuille no 3 : Formes lin´aires et espace dual e
(1) (*) Soit E = IR3 . Montrer que toutes les formes lin´aires sur E s’´crivent f (x1 , x2 , x3 ) = a1 x1 + e e a2 x2 + a3 x3 D´monstration. E est un espace vectoriel de dimension 3 et soit e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E, tout vecteur x de e E s’ecrit, de maniere unique, sous la forme x= 3 xi ei avec xi ∈ R,choisissons l’ensemble {1} (ensemble a un seul i=1 element), comme base de R Soit la proposition : Soient E et R deux espaces vectoriels,e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E et A = (a1 , a2 , a3 )une famille de vecteurs de R alors il existe une unique application lin´aire : f : E −→ R telle que f (ei ) = ai pour tout indice e i=1,2,3 Toute forme lin´aire f sur E est une application lin´aire de E dans R. On la repr´sente alors dans les bases e et {1} e e e par : f : E−→ R   x1 3 3 x−→ f(x)=f( i=1 xi ei )= i=1 xi f (ei )= x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + x3 f (e3 )= x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = (a1 , a2 , a3 ) x2  x1 (2) (*) Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire , et x0 ∈ E. Montrer que l’application u : x ∈ E → x0 , x0 x, x0 est une forme lin´aire sur E. D´terminer son noyau. Et l’application e e x ∈ E → x − x0 , x0 ? e D´monstration. Montrons que l’application u(x) = x0 , x0 x, x0 , est une application lin´aire e Soit λ ∈ R, u(λx) = x0 , x0 λx, x0 = λ x0 , x0 x, x0 = λu(x) Soit (x, y) ∈ IR2 , u(x+y) = x0 , x0 x + y, x0 = x0 , x0 x, x0 + x0 , x0 y, x0 = u(x)+u(y) C’est une forme lin´aire e d’apr`s la propri´t´ de bilin´arit´ du produit scalaire. e e e e e D´termination du noyau ker u e u(x) = x0 , x0 x, x0 ker u = {x ∈ E, x0 , x0 x, x0 = 0} = {x ∈ E, x, x0 = 0} = {x0 ⊥ } c’est un hyperplan. si x0 = 0 alors ker u = E ker u = {x ∈ E, 0 = 0} alors u(x) = 0 ,donc ker u = E x ∈ E → x − x0 , x 0 Soit v(x) = x − x0 , x0 v(0) = −x0 , x0 = - x0 2 = 0 si x0 = 0 si x0 = 0, v n’est pas une forme lineaire . si x0 = 0, v(x) = 0E qui est une forme lineaire.

(3) (*) Soit E = C 0