´
METHODES
ANALYTIQUES

1
1.1

Bilan
Nombre d’inconnues, nombre d’´ equations En ´elasticit´e lin´eaire, et dans l’hypoth`ese des petites perturbations, le nombre d’inconnues dans un probl`eme de m´ecanique des milieux continus est ´egal `a
15. En effet, l’objectif est de d´eterminer en chaque point du solide le vec→ teur d´eplacement − u (trois composantes), le tenseur des d´eformations (six composantes ind´ependantes) et le tenseur des contraintes σ (six composantes ind´ependantes). Pour r´esoudre un tel probl`eme, nous devons donc disposer de 15 ´equations.
Ces ´equations sont les trois ´equations d’´equilibre :
−→
→
−
div(σ) + f v = 0

(1)

les six ´equations de compatibilit´e des d´eformations (qui assurent que les d´eformations d´erivent d’un champ de d´eplacement sous la forme ij = 12 (ui,j + uj,i ) obtenues par le syst`eme :
−−→
−→
−→
∆( ) + grad(grad(tr( ))) = grad(div( )) + grad(div( ))t

(2)

et les six ´equations de comportement reliant les contraintes aux d´eformations sous la forme : σ = 2µ + λtr( )I o` u le tenseur I repr´esente le tenseur identit´e.
1

(3)

On constate que les ´equations sont en fait des ´equations diff´erentielles. Leur int´egration se fera donc `a une constante pr`es, qui sera d´etermin´ee `a l’aide des conditions aux limites en pression ou en d´eplacement :
−
→
−
→ u = U sur ∂ΩU
→
−
−
→
→
t = σ.− n = T sur ∂ΩT

1.2

(4)

M´ ethodes de r´ esolution Il existe beaucoup de m´ethodes de r´esolution des ´equations pr´ec´edentes. Toutefois, les m´ethodes dites ”semi-inverses” pr´esentent l’avantage de fournir des expressions analytiques pour les champs de d´eplacement, de d´eformations et de contraintes dans le solide. Ce chapitre est consacr´e aux m´ethodes semiinverses, dans le cas de mat´eriaux homog`enes, au comportement ´elastique lin´eaire et isotrope. De plus, nous n´egligerons les effets d’acc´el´eration (r´esolution statique). En effet, ces hypoth`eses permettent de mettre en place des ´equations relativement simples `a