Annal 2007

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Mathématiques Robert Gédon

Devoir n°2

93
Exercice 1
Partie I – Analyse de la figure 1.

Corrigé

a. Les droites (OI) et (OJ), supports des diagonales du carré IJKL, sont perpendiculaires. Donc l'angle AOB est droit. [OA] et [OB] sont deux rayons du cercle de centre O et de rayon OA. Le triangle AOB est donc un triangle rectangle isocèle. Les deux angles adjacents à sa base [AB] sontdonc égaux à 45°. OAB = 45°. b. L'angle IOJ est droit et OI = OJ car IJKL est un carré ; le triangle IOJ est donc isocèle rectangle. Les deux angles adjacents à sa base [IJ] sont isométriques et sont chacun égaux à 45°. OIJ = 45° et comme P est le milieu de [IJ], OIP = 45°. c. Le triangle API est isocèle car A est un point du cercle de centre I et de rayon IP. Les angles IAP et API adjacents à labase sont donc isométriques. Les angles PIA et OIP sont supplémentaires, leur somme vaut 180°. Or OIP = 45°, donc PIA = 135°. La somme des angles du triangle PIA valant 180°, la somme des angles IAP et API vaut 45°. Chacun de ces angles est donc égal à 22,5°. Autre méthode Dans le cercle de centre I et de rayon IP, l'angle inscrit IAP intercepte le même arc que l'angle au centre OIP égal à 45°. Unangle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. IAP = 22,5°. d. L'angle IAB est égal à 45° (car O, I et A sont alignés). L'angle IAP est égal à 22,5°. (question 1.c) L'angle IAB est la réunion des angles adjacents IAP et PAB ; On en déduit que l'angle PAB est égal à 22,5°. Cela prouve que (AP) est la bissectrice intérieure de l'angle OAB. Remarque : Labissectrice d'un secteur angulaire est une demi-droite portée par l'axe de symétrie du secteur. 2. a. P est le milieu de [IJ], donc IJ = 2 r. IJKL est un carré, de centre O, [IK] est une de ses diagonales, donc IK = IJ 2 et IK = 2r 2. 1 OI = 2 IK, donc OI = r 2. I étant un point de [OA], OA = OI + IA. On sait que IA = IP, donc : OA = r 2 + r. En mettant r en facteur commun, on obtient R = OA = r ( 2 + 1)b. OA = r 2 + r et OI = r 2. OA n'est pas égal au double de OI. Le point I n'est donc pas le milieu de [OA]. 3. La mesure des côtés du carré IJKL est égale à 2 r. L'aire du carré est donc égale à (2r)2, c'est à dire à 4r2. La surface grisée est obtenue en enlevant au carré quatre quarts de disques de rayon r (les quatre angles du carré étant des angles droits) ou, ce qui revient au même, un disqueentier de rayon r. La surface grisée, G, a une aire dont la mesure est : aire(G) = 4r2 − π r2. En mettant r2 en facteur commun, on obtient : aire(G) = (4 − π ) r2

Partie II. Construction de la figure.
1. Le cercle Γ est donné, ainsi que A l'un de ses points. Tracer le diamètre [AC] du cercle Γ. Le point C est le symétrique de A par rapport au centre O du cercle : construction à la règle de ladroite (OA). Tracer la médiatrice de [AC], soit avec une équerre, puisque le milieu O de [AC] est connu, soit avec un compas en construisant un point équidistant de A et C, distinct de O. Cette médiatrice coupe le cercle Γ en deux points, notons-les B et D. Le quadrilatère ABCD ainsi construit est un carré : ses diagonales sont perpendiculaires, elles ont le même milieu O, elles sont isométriquespuisqu'elles sont deux diamètres d'un même cercle. Cette condition est suffisante pour que le quadrilatère soit un carré. Ce carré est inscrit dans le cercle Γ. 2. Le point P est équidistant de I et de J, ainsi que de A et B, pour des raisons de symétrie de la figure ; on peut aussi le démontrer en utilisant les résultats des questions I1). En effet P est sur la bissectrice de OAB, donc PAB =22,5°, de même P est sur la bissectrice de OBA, donc PBA = 22,5° et le triangle PAB est bien isocèle en P. Il se situe donc sur la médiatrice de [AB]. Tracer la médiatrice de [AB]. (Il suffit de construire un point équidistant de A et de B, distinct de O, à l'aide d'un compas. Deux points suffisent pour tracer cette médiatrice. Appelons M le milieu de [AB], (OM) est la médiatrice demandée.) Tracer...
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