Annales concours

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PCSI

´ ´ DEVOIR SURVEILLE de MATHEMATIQUES n◦ 1

21/09/2001 (3 heures)

EXERCICE 1 (deux questions ind´pendantes) e π π π π π 1.a. En utilisant = − , calculer cos et sin . 12 4 6 12 12 √ √ √ √ b. R´soudre, dans IR, l’´quation ( 6 + 2) cos x + ( 6 − 2) sin x = 2. e e ´ 2. Soient a, b, c trois r´els. Ecrire sous forme de produit l’expression e A = cos(a + b + c) + cos a + cos b + cos c .EXERCICE 2 1 S √ et un = √n . Pour tout n ∈ IN∗ , on pose Sn = n k k=1 √ √ a. Par r´currence, montrer que ∀n ∈ IN∗ Sn ≤ n − 1 + n. e √ b. Par r´currence, montrer que ∀n ∈ IN∗ Sn ≥ 2 n + 1 − 2. e c. La suite (Sn ) est-elle convergente ? d. Montrer que la suite (un ) converge et d´terminer sa limite. e
n

` PROBLEME PARTIE A On consid`re la fonction f d´finie sur [0, +∞[ par f (x) = e e √ x e−x . → →− − On note Γ sa courbe repr´sentative dans le plan muni d’un rep`re orthonormal (O; ı ,  ). e e ´ 1. Etudier la d´rivabilit´ de f en z´ro ; que peut-on en d´duire pour la courbe Γ ? e e e e 2. Calculer la d´riv´e f (x) pour x > 0. En d´duire les variations de f . Quelle est la limite de f e e e en +∞ ? 3. Construire la courbe Γ. PARTIE B Le but de cette partie est la r´solution de l’´quation f(x) = x sur ]0, +∞[. e e 1. On pose g(x) = ln x + 2x pour x > 0. a. Montrer que, sur IR∗ , l’´quation f (x) = x ´quivaut ` l’´quation g(x) = 0. e e a e + b. Montrer que l’´quation g(x) = 0 admet une solution unique sur IR∗ , que l’on notera α. e + Montrer que α appartient ` l’intervalle I = [0, 4 ; 0, 5]. a 2. Montrer que, pour tout x ∈ I, on a f (x) ∈ I. 1 2x − 1 3. Montrer que ∀x ∈ I |f (x)| ≤(on pourra montrer d’abord que |f (x)| = f (x) ). 8 2x 4. Soit (un )n∈IN une suite d´finie par la donn´e de son premier terme u0 , avec u0 ∈ I, et la e e relation de r´currence ∀n ∈ IN e un+1 = f (un ) a. Montrer que ∀n ∈ IN un ∈ I. 1 b. Montrer que ∀n ∈ IN |un+1 − α| ≤ |un − α|. 8 c. En d´duire que la suite (un ) converge vers α. e d. Pour quelle valeur de n est-on sˆr d’avoir |un − α| ≤ 10−6 ? uPARTIE C x√ F (x) = t e−t dt : ne pas chercher ` expliciter F (x). a
0

Soit F la fonction d´finie sur IR+ par e

1. Pour un x ≥ 0 donn´, expliquer ce que repr´sente graphiquement F (x) en relation avec la e e courbe Γ. 2. Pr´ciser les variations de F sur [0, +∞[. e √ 1 5 3. Montrer que ∀t ∈ IR+ t ≤ t + . En d´duire que ∀x ∈ IR+ F (x) ≤ . e 4 4 ***************************************************************** ´ CORRIGE ***************************************************************** EXERCICE 1 1.a. Par les formules d’addition, on a π π π π π cos = cos cos + sin sin = 12 4 6 4 6 √ √ 6− 2 π De la mˆme fa¸on, sin e c = . 12 4 b. Notons (E) l’´quation ` r´soudre. On a e a e (E) ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ cos √ √

6+ 4

2

.

π π 1 cos x + sin sin x = 12 12 2 π π cos x − = cos 12 3 π π π π x−= + 2kπ (k ∈ Z) ou x − = − + 2kπ (k ∈ Z) 12 3 12 3 5π π + 2kπ (k ∈ Z) ou x = − + 2kπ (k ∈ Z) . x= 12 4

2. En regroupant les deux premiers termes et les deux derniers, les formules de transformation de sommes en produits donnent A = 2 cos 2a + b + c b+c b+c b−c cos + 2 cos cos 2 2 2 2 b+c 2a + b + c b−c = 2 cos cos + cos 2 2 2 b+c c+a a+b = 4 cos cos cos . 2 2 2 EXERCICE 2 a. • Initialisation :l’in´galit´ est vraie pour n = 1 car S1 = 1. e e √ √ • H´r´dit´ : si Sn ≤ n − 1 + n pour un entier naturel n non nul donn´, alors ee e e √ √ 1 1 , ≤ n+ n−1+ √ Sn+1 = Sn + √ n+1 n+1 √ √ √ √ 1 n2 − 1 + 1 n+1 mais n − 1 + √ = √ ≤√ = n + 1 (car n2 − 1 ≤ n2 = n). n+1 n+1 n+1 √ √ Donc Sn+1 ≤ n + 1 + n, ce qu’il fallait d´montrer. e √ b. • Initialisation : l’in´galit´ est vraie pour n = 1 car S1 = 1 ≥ 22 − 2. e e √ • H´r´dit´ : si, pour n ∈ IN∗ donn´, on a Sn ≥ 2 n + 1 − 2, alors ee e e

Sn+1 = Sn + √

√ 1 1 2n + 3 −2 ≥2 n+1+ √ −2= √ n+1 n+1 n+1

√ 2n + 3 et, pour aboutir ` l’in´galit´ voulue au rang n+1, il reste ` v´rifier que √ a e e a e ≥2 n+2: n+1 montrons-le en raisonnant par ´quivalences : e √ 2n + 3 √ ≥2 n+2 n+1 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ 2n + 3 ≥ 2 (n + 1)(n + 2)

(2n + 3)2 ≥ 4(n + 1)(n + 2)...
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