Terminale STG

2010-2011

ANNALES de bac sur la fonction ln

Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points)
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f (x) = 30 ln(x) + 10 − 10x.
1. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [1 ; 8] et on note f ′ sa fonction dérivée. Montrer
30 − 10x que, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 8], f ′ (x) =
.
x
2. Étudier le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [1 ; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction f .
3. (Recopier et) compléter le tableau de valeurs suivant. (On arrondira les résultats au dixième).
1

x

2

3

4

f (x)

5

6

7

8

11,6

4. Représenter la fonction f dans un repère orthononné. Unités graphiques : 1 cm pour 1 unité.
Chaque jour un artisan fabrique x objets (x étant compris entre 1 et 8).
Le bénéfice, en dizaines d’euros, réalisé pour la vente de ces x objets est égal à f (x).
5. Combien faut-il produire d’objets pour que le bénéfice soit maximal ? Que vaut ce bénéfice maximal à un euro près ?
6. Déterminer à partir de quelle quantité d’objets l’artisan travaille à perte.
Exercice 2 (Polynésie 2009) ( 4 points)
Soit f la fonction définie sur [0, 5 ; 6] par f (x) = 2x − 3 − 4 ln(x)..
On appelle C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (ci-dessous).
2(x − 2)
.
x
2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction f .
1. Montrer que la dérivée f ′ vérifie f ′ (x) =

3. Montrer que la courbe C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 2. On la note T .
Donner une équation de la droite T .
4. En utilisant le graphique ou le tableau de variations montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution notée x0 dans l’intervalle [2 ; 6].
Donner, à l’aide d’une calculatrice, l’arrondi de x0 à 0, 01 près.
5. Déterminer une équation de la tangente T1 à la courbe C au point d’abscisse 1.
Dans le repère, tracer les tangentes T et T1 à la courbe C. y 2
1

O

1

−1

−2

lycée Bertran de Born - Périgueux

2

3

4

5

6

7

8

x