TD d’Économie – Julien Grenet
École Normale Supérieure
Année 2007-2008

Vade mecum : Equations différentielles du premier ordre

Cette annexe aux TD sur le modèle de Solow présente la méthode de résolution des équations linéaires du premier ordre et définit la notion d’état stationnaire.

1
1.1

Définitions
Equations différentielles du premier ordre

Une équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t) ˙ = f (y(t))
Exemple : y(t)
˙ = 2y(t)
Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction y(t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t)
˙
est 2e2t = 2y(t). Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle constante k, y(t) = ke2t est aussi une solution de cette équation. Une équation différentielle est toujours telle que plusieurs solutions sont possibles en fonction de la valeur d’une constante.

1.2

Equations différentielles linéaires du premier ordre

Deux catégories d’équations linéaires du premier ordre sont particulièrement utilisées en économie. type 1 : y˙ = ay où a est une constante. La solution générale de cette équation est : y(t) = keat
La démonstration consiste simplement à différencier keat et à regarder si l’équation différentielle est satisfaite ; sa dérivée est en effet k fois elle-même. La constante k est déterminée par la valeur initiale y(0) de y(t), d’où : y(t) = y(0)eat type 2 : y˙ = ay + b où a et b sont des constantes non nulles. La solution générale de cette équation est : b y(t) = − + keat a 1

Pour vérifier ce résultat, remplaçons la solution possible dans l’équation et regardons si cette dernière est vérifiée : y(t) ˙
= akeat ay(t) + b = (−b + akeat ) + b = akeat

Par conséquent, y(t)
˙
= ay(t) + b, donc notre solution possible constitue vraiment une solution. La constante k est déterminée par la valeur initiale y(0) de y(t), d’où : b b