LES ANNUITÉS I. Calculer la valeur acquise par des annuités :
• Exemple : On place chaque année pendant 5 ans, en début d’année, un capital de 5 000 Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement, puis un an après le dernier versement (Capitalisation annuelle au taux de 6 %) • Méthode : la valeur acquise au moment du dernier versement constant est donnée par la formule (1 + i ) n − 1 Vn = a avec : i a : versement périodique en début de période n : nombre de versements • Solution : Valeur acquise au 5e versement : Valeur un an après : Intérêts acquis alors : i : taux périodique Vn : valeur acquise au dernier versement 1,065 − 1 = 28 185,46 0,06

a = 5 000 ; i = 0,06 ; n = 5 ; V5 = 5 000 ×

28 185,46 × 1,06 = 29 876,27

• Remarque : il s’agit en fait d’une suite géométrique Au début de la 5ème année, le premier versement vaut : 5 000 × 1,064 Le 2ème versement ne produit des intérêts que 3 ans et vaut donc : 5 000 × 1,063 Et ainsi de suite jusqu’au 5ème versement qui n’a encore rien rapporté. On a donc : V5 = 5 000 + ( 5 000 × 1,06) + ( 5 000 × 1,062 ) + q5 − 1 1,065 − 1 V5 = u1 = 5 000 × = 28 185,46 q −1 0,06 + ( 5 000 × 1,064 )

Il s’agit d’une suite géométrique de 1er terme u1 = 5 000 , de raison q = 1,06 avec n = 5.

II. Calculer la valeur actuelle d’annuités :
• Exemple : On verse chaque mois en début de mois une somme de 1 000 pendant 24 mois (taux d’actualisation : 0,5 % par mois). Calculer la valeur actualisée de cette suite de versements un mois avant le premier versement. • Méthode : la valeur actuelle une période avant le premier versement constant est donnée par la formule −n 1 − (1 + i ) V0 = a avec : i a : versement périodique n : nombre de versements • Solution : Valeur actuelle cherchée : i : taux périodique V0 : valeur actuelle une période avant le premier versement a = 1 000 ; i = 0,005 ; n = 24 ;

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V0 = 1 000 ×

1 − 1,005−24 = 22 562 ,87 0,005

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D’où :

29 876,27 − ( 5 × 5 000) =