application de la loi dans le temps
Séries à termes réels positifs. Applications
Les généralités sur les séries numériques sont supposées acquises (chapitre 25), y compris la notion de convergence absolue.
26.1
Séries à termes réels positifs
Dans le cas où la suite (un )n∈N et à valeurs positives, la suite (Sn )n∈N des sommes partielles associées est croissante et deux cas de figure peuvent se produire :
– soit la suite (Sn )n∈N est majorée et en conséquence elle converge ;
– soit cette suite n’est pas majorée et lim Sn = +∞, ce qui peut se noter n→+∞ +∞
un = +∞.
n=0
On a donc le résultat suivant.
Théorème 26.1 Une série à termes positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est majorée. En cas de divergence, on a lim Sn = +∞. n→+∞ Dans le cas des séries à termes positifs, on écrira un < +∞ pour signifier que cette dernière converge. Cette notation étant justifiée par les considérations précédentes.
En cas de divergence, on a un = +∞.
26.2
Les séries de Riemann
Théorème 26.2 Soit α un réel. La série de Riemann si α > 1.
1 est convergente si, et seulement nα Démonstration. Pour α ≤ 1, on utilise le fait que si la suite (Sn )n∈N converge alors lim (S2n − Sn ) = 0 et pour α > 1, on montre que la suite croissante (Sn )n∈N est majorée. n→+∞ 1
Pour α ≤ 1, on a x α = x1−α ≥ 1 pour x ≥ 1 et : x n
S2n − Sn = k=1 1
≥
(n + k)α
et la suite (Sn )n≥1 diverge.
673
n
k=1
n
1
1
≥
= n+k 2n
2
674
Séries à termes réels positifs. Applications
1
étant décroissante sur R+∗ , on a : tα Pour α > 1, la fonction t →
k
∀k ≥ 2, k−1 k
dt
≥
tα
k−1
dt
1
= α α k k et pour tout n ≥ 2, on a : n n
1
Sn = 1 +
≤1+
kα k=2 k=2 α ≤
.
α−1
k k−1 dt
=1+
tα
n
1
dt
1
=1+ α t α−1 1−
1 nα−1 La suite (Sn )n∈N est donc croissante majorée et en conséquence convergente.
+∞ 1 π2 Pour α = 2, on a
=
. De manière plus générale, on