Z  ZZ  Exo7  Z  Z Z

Ann´e 2009 e

Exercices de math´matiques e
Applications lin´aires e

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D´finition e

Exercice 1. D´terminer si les applications fi suivantes (de Ei dans Fi ) sont e lin´aires : e f1 : (x, y) ∈ R2 → (2x + y, x − y) ∈ R2 , f2 : (x, y, z) ∈ R3 → (xy, x, y) ∈ R3 f3 : (x, y, z) ∈ R3 → (2x + y + z, y − z, x + y) ∈ R3 f4 : P ∈ R[X] → P ∈ R[X], f5 : P ∈ R3 [X] → P ∈ R3 [X] f6 : P ∈ R3 [X] → (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R3 , f7 : P ∈ R[X] → P −(X−2)P ∈ R[X]. Exercice 2. Soit E un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application lin´aire de E dans lui-mˆme telle que ϕn = 0 et ϕn−1 = 0. Soit x ∈ E tel que e e ϕn−1 (x) = 0. Montrer que la famille {x, . . . , ϕn−1 (x)} est une base de E.

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Image et noyau

Exercice 3. E1 et E2 ´tant deux sous-espaces vectoriels de dimensions fie nies d’un espace vectoriel E, on d´finit l’application f : E1 × E2 → E par e f (x1 , x2 ) = x1 + x2 . 1. Montrer que f est lin´aire. e 2. D´terminer le noyau et l’image de f . e 3. Appliquer le th´or`me du rang. e e Exercice 4. Soient E un espace vectoriel et ϕ une application lin´aire de E e dans E. On suppose que Ker (ϕ)∩Im (ϕ) = {0}. Montrer que, si x ∈ Ker (ϕ) alors, pour tout n ∈ N : ϕn (x) = 0. Exercice 5. Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application lin´aire de E dans lui-mˆme. Montrer que les deux assertions qui suivent sont e e ´quivalentes : e 1

1. Ker(f ) = im(f ). 2. f 2 = 0 et n = 2 rg(f ). Exercice 6. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g = g ◦ f . Montrer que ker(f ) et Im(f ) sont stables par g. Exercice 7. Soit f ∈ L(E). Montrer que ker(f ) ∩ Im(f ) = f (ker(f ◦ f )). Exercice 8. Donner des exemples d’applications lin´aires de R2 dans R2 e v´rifiant : e 1. Ker(f ) = Im(f ). 2. Ker(f ) inclus strictement dans Im(f ). 3. Im(f ) inclus strictement dans Ker(f ).

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Injectivit´, surjectivit´, isomorphie e e

Exercice 9. Soit E un espace vectoriel de dimension 3, {e1 , e2 , e3 } une base de E, et λ un