Applications des lois de probabilité

Exercice1 :

Enoncé :

Une urne contient neuf boules.
Quatre de ces boules portent le numéro 0, trois portent le numéro 1 et deux le numéro 2.
Tous les tirages sont supposés équiprobables.
On tire au hasard deux boules simultanément. Soit X, la somme des numéros marqués sur ces boules.
Déterminer et représenter graphiquement la loi de probabilité de X.
Tracer aussi la courbe cumulative (= représentation graphique de la fonction de répartition)

Correction :

[pic]= ensemble des tirages simultanés de deux boules de l'urne. card [pic]= [pic]= 36
Il y a donc 36 tirages possibles.
Regardons toutes les valeurs possibles prises par X :
X([pic]) = {0; 1; 2; 3; 4}

Cherchons la loi de probabilité de X :
- X est égale à 0 lorsque l'on tire deux boules numérotées 0, donc : p(X = 0) = [pic]/[pic] = 1/6
- X est égale à 1 dans le cas suivant : lorsque l'on tire une boule numérotée 1 et une boule numérotée 0, donc : p(X = 1) = ([pic] × [pic])/[pic] = 1/3
- X est égale à 2 dans les cas suivants : lorsque l'on tire une boule numérotée 0 et une numérotée 2 ou bien lorsque l'on tire deux boules numérotées 1, donc : p(X = 2) = ([pic]×[pic] + [pic])/[pic] = 11/36
- X est égale à 3 dans le cas suivant : lorsque l'on tire une boule numérotée 1 et une boule numérotée 2, donc : p(X = 3) = ([pic]×[pic])/[pic] = 1/6
- X est égale à 4 dans le cas suivant : lorsque l'on tire deux boules numérotées 2, donc : p(X = 4) = [pic]/[pic] = 1/36
On peut vérifier que la somme des probabilités trouvées est bien égale à 1.

Exercice2 :

Enoncé :

Montrer que p(ab) + p(X[pic]a)]
= 1 - p(X>b) - p(X[pic]a)
= 1 - (1 - p(X[pic]b)) - p(X[pic]a)
= p(X[pic]b) - p(X[pic]a)

Exercice3 :

Enoncé :

Soit Y la variable aléatoire qui correspond à la somme obtenue en lançant deux dés.
Après avoir rappelé la définition générale, calculer l'espérance mathématique de Y.

Correction :