Applications lineaires

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  • Publié le : 8 avril 2011
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APPLICATIONS LINEAIRES
Soit E et F deux e.v. sur R. On dit que f est une application linéaire (ou A.L.) de E dans F
⟺ {█(∀x∈E et ∀λ∈R,f(λ.x)=λf(x)@∀x et ∀y∈E,f(x+y)=f(x)+f(y) )┤
⟺ (∀x∈E,∀y∈E,∀λ∈R) f(x+λy)=f(x)+λf(y)
Soit f∈L(E,F). (x et y étant des vecteurs)
Notation : l’ensemble des applications linéaires de E dans F se note L(E,F).
Propriétés :
f(0_E )=0_F ;
f(-x)=-f(x).
Unendomorphisme de E est une application linéaire de E dans E.
Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E).
Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F.
Propriétés :
On dit que les espaces E et F sont isomorphes ;
la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ;
2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F).
Unautomorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E.
Notation : l’ensemble des automorphismes de E se note GL(E).
Si f∈L(E,F) et g∈L(F,G) alors g∘f∈L(E,G). Attention, généralement f∘g≠g∘f.
Noyau et image :
Le noyau de f, noté Ker(f), est l’ensemble
Ker(f)={u∈E / f(u)=0}
Autrement dit : Ker(f)=f^(-1) ({o}).
Reflexe : f(x)=0⟺x∈Ker(f)
Ker(f) est un s.e.v. de E.(Ker(f)⊂E)
Ker(f)={0_E }⟺fest injective.
dim⁡〖Ker(f)〗=0⟺f injective
dim⁡〖Ker(f)=n⟺Ker(f)=E⟺f=0 (application nulle)〗
Méthode pour trouver Ker(f) :
Ker(f)={u∈E / f(u)=0} ;
Soit u=(x_1,…,x_n )∈E ;
u∈Ker(f)⟺f(u)=0 ;
On calcule u=(x_1,…,x_n ) pour f(u)=0
On trouve u={█(x_1=f_1 (x_i )@…=⋯@x_i=⋯@…=⋯@x_n=f_n (x_i ) )┤ ⟹u=(g_1 (x_i ),…,x_i,…,g_n (x_i ) )
Où g_n (x_i )=α_n.x_i,α_n∈R ;Donc u=(α_1.x_i,…,α_n.x_i )=x_i (α_1,…,α_n)
Donc Ker(f)={x_i (α_1,…,α_n ) / x_i∈K,(K∈E)}=Vect((α_1,…,α_n )) (le plus simple est de prendre x_i=x_1)
Si f∈L(E) ,g∈L(E) alors :
Ker(f)⊂Ker(g∘f)
Démonstration : u∈Ker(f)⟹f(u)=0 donc (g∘f)(u)=g(0)=0 (g∈L(E) (endomorphisme) donc g(0)=0).

L’image de f, noté Im(F), est l’ensemble
Im(f)={f(u)∈F / u∈E}={v∈F / ∃ u∈E / v=f(u)}
Autrement dit :Im(f)=f(E).
Reflexe Si y∈Im(f)⟹∃ x∈E / y=f(x)
Im(f) est un s.e.v. de F. (Im(f)⊂F).
Im(f)=F⟺fest surjective.
Si f est surjective et si (e_1,e_2,…,e_n) est une famille génératrice de E alors (f(e_1 ),f(e_2 ),…,f(e_n )) est une famille génératrice de F.
Im(f)=Vect(f(e_1 ),f(e_2 ),…,f(e_n ) ).
Méthodes pour trouver Im(f) :
(Méthode plutôt classique.) On sait que Im(f)=Vect(f(e_1 ),f(e_2),…,f(e_n ) ), avec (e_1,e_2,…,e_n) un famille génératrice de E. En calculant f(e_1 ),f(e_2 ),…,f(e_n ), on trouve alors Vect(f(e_1 ),f(e_2 ),…,f(e_n ) ).
(Méthode pas évidente avec polynômes.) v∈F,v=(〖x^'〗_1,…,〖x'〗_n), v∈Im(f)⟺∃ u∈E / v=f(u),u=(x_1,…,x_n)
⟺(〖x^'〗_1,…,〖x^'〗_n )=f(x_1,…,x_n)
On cherche ensuite a mettre en facteur les (x_1,…,x_n) dans f(x_1,…,x_n) pour trouver :(〖x^'〗_1,…,〖x^'〗_n )=x_1.u_1+⋯+x_n.u_n,(x_1,…,x_n)∈R^n où (u_1,…,u_n) sont des vecteurs.
Donc Im(f)=Vect(u_1,…,u_n).
Si f∈L(E) ,g∈L(E) alors :
Im(g∘f)∈Im(g)
Démonstration : v∈Im(g∘f)⟹∃u∈E / v=(g∘f)(u) donc v=g(f(u)) donc v=g(u^') (avec u^'=f(u)) donc v∈Im(g).
Théorème du rang :
Si f∈L(E,F) avec E de dimension finie alors :
dim⁡E=dim⁡Ker(f)+dim⁡Im(f)
dim⁡Im(f)=rg(f) doncdim⁡E=dim⁡Ker(f)+rg(f)
Conséquences :
f injective ⟺f est un automorphisme ;
f surjective ⟺f est un automorphisme.
Caractéristiques des applications linéaires bijectives :
Si f linéaire et bijective, nécessairement dim⁡E=dim⁡F
On suppose f∈L(E,F) et dim⁡E=dim⁡F=n (en dimension finie), on peut alors dire :
f bijective ⟺f injective ;
f bijective ⟺f surjective ;
f bijective ⟺Ker(f)={0_E } (soitdim⁡Ker(f)=0) ;
f bijective ⟺rg(f)=n ;
f bijective ⟺rg(A)=n,(A=〖mat〗_(BB^' ) f) ;
f bijective ⟺Im(f)=F.

APPLICATIONS LINEAIRES
Soit E et F deux e.v. sur R. On dit que f est une application linéaire (ou A.L.) de E dans F
⟺ {█(∀x∈E et ∀λ∈R,f(λ.x)=λf(x)@∀x et ∀y∈E,f(x+y)=f(x)+f(y) )┤
⟺ (∀x∈E,∀y∈E,∀λ∈R) f(x+λy)=f(x)+λf(y)
Soit f∈L(E,F). (x et y étant des vecteurs)
Notation :...
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