APPLICATIONS LINEAIRES Soit E et F deux e.v. sur R. On dit que f est une application linéaire (ou A.L.) de E dans F
⟺ {█(∀x∈E et ∀λ∈R,f(λ.x)=λf(x)@∀x et ∀y∈E,f(x+y)=f(x)+f(y) )┤
⟺ (∀x∈E,∀y∈E,∀λ∈R) f(x+λy)=f(x)+λf(y)
Soit f∈L(E,F). (x et y étant des vecteurs) Notation : l’ensemble des applications linéaires de E dans F se note L(E,F). Propriétés : f(0_E )=0_F ; f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble des automorphismes de E se note GL(E). Si f∈L(E,F) et g∈L(F,G) alors g∘f∈L(E,G). Attention, généralement f∘g≠g∘f. Noyau et image : Le noyau de f, noté Ker(f), est l’ensemble
Ker(f)={u∈E / f(u)=0} Autrement dit : Ker(f)=f^(-1) ({o}). Reflexe : f(x)=0⟺x∈Ker(f) Ker(f) est un s.e.v. de E. (Ker(f)⊂E) Ker(f)={0_E }⟺fest injective. dim⁡〖Ker(f)〗=0⟺f injective dim⁡〖Ker(f)=n⟺Ker(f)=E⟺f=0 (application nulle)〗 Méthode pour trouver Ker(f) : Ker(f)={u∈E / f(u)=0} ; Soit u=(x_1,…,x_n )∈E ; u∈Ker(f)⟺f(u)=0 ; On calcule u=(x_1,…,x_n ) pour f(u)=0 On trouve u={█(x_1=f_1 (x_i )@…=⋯@x_i=⋯@…=⋯@x_n=f_n (x_i ) )┤ ⟹u=(g_1 (x_i ),…,x_i,…,g_n (x_i ) ) Où g_n (x_i )=α_n.x_i,α_n∈R ; Donc u=(α_1.x_i,…,α_n.x_i )=x_i (α_1,…,α_n) Donc Ker(f)={x_i (α_1,…,α_n ) / x_i∈K,(K∈E)}=Vect((α_1,…,α_n )) (le plus simple est de prendre x_i=x_1) Si f∈L(E) ,g∈L(E) alors : Ker(f)⊂Ker(g∘f) Démonstration : u∈Ker(f)⟹f(u)=0 donc (g∘f)(u)=g(0)=0 (g∈L(E) (endomorphisme) donc g(0)=0).

L’image de f, noté Im(F), est l’ensemble
Im(f)={f(u)∈F / u∈E}={v∈F / ∃ u∈E / v=f(u)} Autrement dit :