Approximation de pi

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  • Publié le : 12 mai 2011
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Une première approximation de pi
La première approximation connue du nombre provient des Babyloniens. Considérons la reproduction suivante d’une tablette de Suse :

Ils’agit en fait d’une table donnant l’aire (colonne de gauche) d’une série de figures (colonne de droite). Un premier exemple est donné à la ligne 27 :
2;37,30 IGIGUBSASAG 6
qui signifie :
2,625 est la constante du polygone régulier à 6 côtés
La « constante » désigne ici l’aire et correspond (approximativement) à celle d’un hexagonerégulier dont les côtés sont de longueur 1.
Regardons maintenant la deuxième ligne :
0;5 IGIGUB SAGAM
qui signifie :
1/12 est la constante du cercle
Cette fois-ci, c’est lepérimètre du cercle qui est supposé valoir 1. On en déduit donc la valeur du rayon :

et l’aire vaut :

On en tire que la valeur de est 3. C’est une approximation unpeu grossière, bien qu’on la retrouve aussi chez les Chinois et dans la Bible.
On peut cependant jeter un oeil à la ligne 30 :
0;57,36 IGIGUB SASAR qui signifie :
24/25= 0,96 est la constante du cercle amélioré
Pour comprendre ce qu’est un « cercle amélioré », multiplions cette valeur par l’aire du cercle donnée à la ligne 2 :
Si onsuppose que cette dernière valeur est l’aire d’un cercle, on peut en déduire la valeur de qui est :

Voilà une bien meilleure approximation ! On comprend alors que laquantité 0;57,36 = 24/25 est le facteur de correction à apporter à l’aire du cercle donnée à la ligne 2 pour obtenir une valeur plus précise, d’où l’expression « cercleamélioré ».
Cette approximation est assez remarquable pour l’époque, car il faudra attendre plus de 15 siècles et l’arrivée d’Archimède pour avoir une meilleure approximation.
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