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  • Publié le : 30 décembre 2010
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Géométrie dans l'espace en seconde
David Nivaud
[pic]
• Généralités
• Axiomes d'incidence
• Positions relatives de droites et plans
• Parallélisme dans l'espace
o Définitions
o Parallélisme entre droites
o Parallélisme entre plans
o Parallélisme entre droite et plan
• Orthogonalité dans l'espace
o Définitions
oOrthogonalité d'une droite et d'un plan
o Orthogonalité de deux droites de l'espace
o Plans perpendiculaires

• Vecteurs de l'espace

Généralités

La géométrie élémentaire de l'espace est née du souci d'étudier les propriétés de l'espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette géométrie sont les points, les droites et les plans. On considère cesnotions comme des notions premières, c'est-à-dire suffisamment familières pour ne pas les définir. Pour leur étude il sera nécessaire d'admettre un certain nombre de propriétés de base.
Un point désigne un endroit précis. On le représente par un point ([pic]) ou une croix [pic], et on lui donne un nom. Mais il faut bien comprendre qu'il ne s'agit que d'une représentation de l'objet théorique,"point", qui n'a pas d'étendue.
Une droite est un ensemble de points, qu'on représente par un "segment", et auquel on donne un nom. il faut bien comprendre qu'il ne s'agit que d'une représentation de l'objet théorique, "droite", qui n'a pas de largeur, et qui est illimité dans les deux sens.
Un plan est un ensemble de points. La feuille de papier est une bonne représentation d'un plan. Lorsque l'onveut représenter plusieurs plans de l'espace, on représente chacun d'entre eux par un parallélogramme, censé représenter un rectangle en "perspective". Il ne s'agit là que d'une représentation de l'objet théorique "plan" qui n'a pas d'épaisseur et illimité dans tous les sens.
[pic]
Propriété 1   Les résultats de géométrie du plan sont applicables dans chaque plan de l'espace.

Axiomesd'incidence

Les axiomes d'incidences de la géométrie dans l'espace sont des axiomes qui fournissent des relations entre les points, les droites et les plans de cette géométrie.
1. Par deux points distincts de l'espace il passe une et une seule droite. Cette droite peut-être notée [pic].
2. Par trois points non alignés, [pic]et [pic]passe un et un seul plan. Ce plan peut-être noté [pic].
3. Si[pic]et [pic]sont deux points d'un plan [pic], tous les points de la droite [pic]appartiennent au plan.
Il en résulte qu'un plan peut être déterminé par l'une des conditions suivantes :

|trois points non alignés |deux droites sécantes |une droite et un point extérieur à celle-ci |
|[pic]|[pic] |[pic] |

Positions relatives de droites et plans

1. [pic]et [pic]sont deux droites de l'espace. Il n'existe que deux possibilités :
1. il n'existe aucun plan contenant ces deux droites, elles sont dites non coplanaires,
2. il existe un plan contenant ces deuxdroites, elles sont dites coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles dans ce plan).
2. [pic]est une droite et [pic]un plan de l'espace. Il n'existe que trois possibilités :
1. la droite et le plan n'ont qu'un point commun, la droite et le plan sont dits sécants (voir la figure précédente),
2. la droite est incluse dans le plan,
3. la droite et le plan n'ontaucun point commun.
3. [pic]et [pic]sont deux plans de l'espace. Il n'existe que trois possibilités :
1. les plans ont un point commun et sont distincts, alors ils sont sécants suivant une droite passant par ce point, (ainsi deux plans distincts qui ont deux points communs sont sécants suivant la droite définie par ces deux points)

2. les plans sont confondus,
3....
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