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Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés

1
[ 01737 ]

Fonctions de deux variables
Généralités sur les fonctions de deux variables
Exercice 1
Déterminer tous les couples (α, β) ∈ (R+ )2 pour lesquels il existe M ∈ R tel que : ∀x, y > 0, xα y β M (x + y)
[ 01733 ]

Exercice 6

Soit f : R → R une fonction de classe C 1 et F : R2 \ {(0, 0)} → R dénie par

F(x, y) =
Déterminer

f (x2 + y 2 ) − f (0) . x2 + y 2

(x,y)→(0,0)

lim

F (x, y).

Soit A une partie non vide de R2 et x un point de R2 . On note d(x, A) = inf x − a . Montrer que d : R2 → R est lipschitzienne.
a∈A

Exercice 2

[ 01734 ]

Continuité
  1 x2 + y 2 − 1 si x2 + y 2 > 1  . Soit f : R2 → R dénie par f (x, y) = 2  1 2  − x sinon 2 Montrer que f est continue.Exercice 7

[ 01738 ]

Limite
Exercice 3
Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : a) f (x, y) = x2xy 2 +y b) f (x, y) = c) f (x, y) = d) f (x, y) =
x2 +xy+y 2 x2 +y 2 x2 y x2 +y 2 x2 y 2 x2 +y 2

[ 01735 ]

Exercice 8

Soit f : R → R une fonction de classe C 1 et F : R2 → R la fonction dénie par

[ 01739 ]

F (x, y) =
Montrer que F est continue.

f (x)

f (x)−f(y) x−y

si y = x . si y = x

Exercice 4

Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : 3 a) f (x, y) = x y x+2y b) f (x, y) = x2 −y2 c) f (x, y) =
x2 +y 2 |x|+|y|

[ 01736 ]

Exercice 9

Soit A une partie convexe non vide de R2 et f : A → R une fonction continue. Soit a et b deux points de A et y un réel tels que f (a) y f (b). Montrer qu'il existe x ∈ A tel que f (x) = y.

[ 01741 ]

Exercice 5

Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : sin a) f (x, y) = √ 2 xy 2 b) f (x, y) = c) f (x, y) = x = e d) f (x, y) = shxshy x+y
x +y 1−cos(xy) xy 2 y y ln x

[ 00068 ]

Dérivées partielles
Exercice 10
Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : a) f (x, y) = xy (avec y > 0)b) f (x, y) = x2 + y 2 c) f (x, y) = x sin(x + y).
[01742 ]

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Enoncés

2
[ 01748 ]

Exercice 11

 2 y , si x = 0 Soit f la fonction dénie sur R2 par f (x, y) = . x  0, si x = 0 a) Montrer que f admet une dérivée au point (0, 0) suivant tout vecteur de R2 . b) Observer que néanmoins f n'est pas continue en (0, 0).

[ 01743 ]

Exercice 16

Soit ϕ : R → R continue et f : R2 → Rdénie par
y

f (x, y) =
x

ϕ(t) dt.

Montrer que f est de classe C 1 et calculer ses dérivées partielles premières.

Exercice 12

Soit f : R2 → R dénie par

[ 01744 ]

Dérivées de fonctions composées
0
x2 y x4 +y 2

f (x, y) =

si (x, y) = (0, 0) sinon

.

Exercice 17

Montrer que f admet une dérivée en (0, 0) selon tout vecteur sans pour autant y être continue.

Soitf : R2 → R partiellement dérivable en ses deux variables x et y . On pose g : R → R dénie par g(t) = f (2t, 1 + t2 ). Exprimer g (t) en fonction des dérivées partielles ∂f et ∂f . ∂x ∂y

[ 01749 ]

xy si (x, y) = (0, 0) Soit f : R → R dénie par f (x, y) = |x| + |y| .  0 sinon Justier que f est continue en (0, 0). Etudier les dérivées partielles de f en (0, 0).
2

Exercice 13

[ 01745]

Exercice 18
 

Soit f : R2 → R une fonction de classe C 1 et g : R2 → R dénie par g(u, v) = f (u2 + v 2 , uv). a) Justier que g est de classe C 1 . ∂g ∂g b) Exprimer ∂u et ∂v en fonction des dérivées partielles de la fonction f notées ∂f ∂f ∂x et ∂y .

[ 01755 ]

Exercice 14

Soit ϕ : R → R dérivable. On pose f : R × R → R dénie par f (x, y) = ϕ(y/x). Montrer que f vérie larelation :

[ 01746 ]

Exercice 19

x

∂f ∂f (x, y) + y (x, y) = 0. ∂x ∂y

Soit f : R2 → R une fonction de classe C 1 et g : R2 → R dénie par g(ρ, θ) = f (ρ cos θ, ρ sin θ). a) Justier que g est de classe C 1 . b) Exprimer les dérivées partielles de f en fonction de celles de g . c) Exprimer les dérivées partielles de g en fonction de celles de f .

[ 01750 ]

Fonctions de classe...
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