Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés

1
[ 01737 ]

Fonctions de deux variables
Généralités sur les fonctions de deux variables
Exercice 1
Déterminer tous les couples (α, β) ∈ (R+ )2 pour lesquels il existe M ∈ R tel que : ∀x, y > 0, xα y β M (x + y)
[ 01733 ]

Exercice 6

Soit f : R → R une fonction de classe C 1 et F : R2 \ {(0, 0)} → R dénie par

F (x, y) =
Déterminer

f (x2 + y 2 ) − f (0) . x2 + y 2

(x,y)→(0,0)

lim

F (x, y).

Soit A une partie non vide de R2 et x un point de R2 . On note d(x, A) = inf x − a . Montrer que d : R2 → R est lipschitzienne. a∈A Exercice 2

[ 01734 ]

Continuité
  1 x2 + y 2 − 1 si x2 + y 2 > 1  . Soit f : R2 → R dénie par f (x, y) = 2  1 2  − x sinon 2 Montrer que f est continue.

Exercice 7

[ 01738 ]

Limite
Exercice 3
Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : a) f (x, y) = x2xy 2 +y b) f (x, y) = c) f (x, y) = d) f (x, y) = x2 +xy+y 2 x2 +y 2 x2 y x2 +y 2 x2 y 2 x2 +y 2

[ 01735 ]

Exercice 8

Soit f : R → R une fonction de classe C 1 et F : R2 → R la fonction dénie par

[ 01739 ]

F (x, y) =
Montrer que F est continue.

f (x)

f (x)−f (y) x−y

si y = x . si y = x

Exercice 4

Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : 3 a) f (x, y) = x y x+2y b) f (x, y) = x2 −y2 c) f (x, y) = x2 +y 2 |x|+|y|

[ 01736 ]

Exercice 9

Soit A une partie convexe non vide de R2 et f : A → R une fonction continue. Soit a et b deux points de A et y un réel tels que f (a) y f (b). Montrer qu'il existe x ∈ A tel que f (x) = y .

[ 01741 ]

Exercice 5

Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : sin a) f (x, y) = √ 2 xy 2 b) f (x, y) = c) f (x, y) = x = e d) f (x, y) = shxshy x+y x +y 1−cos(xy) xy 2 y y ln x

[ 00068 ]

Dérivées partielles
Exercice 10
Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : a) f (x, y) = xy (avec y > 0)b) f (x, y) = x2 + y 2 c) f (x, y) = x sin(x + y).
[