Arithmetique

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  • Publié le : 23 novembre 2010
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ENTIERS, DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE
PLAN I : Les entiers 1) Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurscommuns, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse non standard Annexe IV : Le numéro INSEEAnnexe V: Utilisation d'un corps fini dans le codage du Minitel Annexe VI : Utilisation d'un corps fini dans les disques compacts Annexe VII : Cryptographie Annexe VIII : La recherche des grands nombres premiers, le test de Lucas. Annexe IX : Les nombres parfaits Annexe X : Curiosités étranges 1) Problèmes de la factorisation des entiers 2) Un test probabiliste de primalité 3) Les certificats deprimalité 4) Le polynôme de Jones 5) Les fractions de Conway et Guy

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I : Les entiers 1– Le principe de récurrence Voici un extrait d'un livre paru en 1993 (Le langage CAML, Weis et Leroy – InterEditions) : Le principe de récurrence s'énonce informellement ainsi ; si une certaine propriété sur les nombres entiers est vraie pour 0 et si la propriété est vraie pour lesuccesseur d'un nombre dès qu'elle est vraie pour ce nombre, alors cette propriété est vraie pour tous les nombres. Formellement : soit P(n) une propriété qui dépend d'un entier n. Si les phrases suivantes sont vraies : 1. P(0) est vraie, 2. si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie, alors P(n) est vraie pour tout n. Ce principe est en fait évident : les deux propriétés demandées par le principe derécurrence permettent facilement de démontrer la propriété P pour toute valeur entière. Par exemple, supposons que P vérifie les deux propriétés et qu'on veuille démontrer que P est vraie pour 2. Puisque P est vraie pour 0, elle est vraie pour son successeur 1. Mais puisque P est vraie pour 1, elle est vraie pour son successeur, donc elle est vraie pour 2. Il est clair que ce raisonnement se poursuitsans problème pour tout nombre entier fixé à l'avance. Le principe de récurrence est–il évident, ou peut–il se démontrer ? Le texte suivant est tiré de la revue Tangente de Décembre 87 (n° 2). Il affirme démontrer le principe de récurrence. Or il n'en est rien. Il y a une faille1 dans le raisonnement qui n'échappera pas à un esprit sagace. Premièrement : Le principe de descente infinie de Fermat.Il ne peut exister de suite infinie strictement décroissante d'entiers naturels. Démonstration : si (xn) était une telle suite, on aurait xn+1 < xn pour tout n entier naturel, donc xn+1 ≤ xn – 1. En appliquant ceci à n = 0, 1, 2, ..., on trouve successivement : x1 ≤ x0 – 1, x2 ≤ x1 – 1, etc. On en déduit : x2 ≤ x0 – 2, x3 ≤ x0 – 3, ..., xn ≤ x0 – n. En prenant n = x0 + 1, on obtient xn < –1, ce quicontredit le fait que la suite xn est composée d'entiers naturels. Deuxièmement : Le principe du bon ordre. Tout ensemble non vide X d'entiers naturels comporte un plus petit élément. Démonstration : Si X n'avait pas de plus petit élément, alors pour chaque élément de X, il y en aurait un autre, strictement plus petit. Partant d'un élément donné a appartenant à X, on pourrait fabriquer ainsi...
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