Arithmetique

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Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30) l’ensemble des diviseurs communs à 12 et à 30 On a : D(12 ;30)= {-6;-3;-2;-1;1 ;2 ;3 ;6} D(12 ;30) est un ensemble fini ; il admet un plus grand élément 6 : 6 est le plus grand diviseur commun à 12 et à 30 ; on l’appelle le plus grand commun diviseur de 12 et de 30 ; on le note PGCD(12 ;30). Onremarque aussi que tout diviseur commun à 12 et à 30 est un diviseur de leur PGCD Plus généralement : Soient et deux entiers relatifs non nuls et ( ; ) l’ensemble des diviseurs communs à et à . Cet ensemble est non vide ( il contient -1 et 1) et fini ; il admet un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur de et de ; on le note PGCD( ; ) PGCD (a ;b) est un entier naturel Si d = PGCD(a;b) alors d est un diviseur commun de a et b donc d divise a et d divise b B) PROPRIETES 1. Soit a et b des entiers relatifs non nuls ( ∈ ∗ et ∈ ∗ ) alors : • PGCD (a ;b) est un entier naturel • PGCD(a ;b)=PGCD(b ;a) • PGCD(a ; 1)=1 • PGCD( a ; -a) = PGCD(a ; a)= • si a ∈IN alors PGCD(a ; a)= a • PGCD(-a ;b)= PGCD(a ;-b)= PGCD(-a ;-b)= PGCD( ; ) ( on peut donc se ramener à la recherche du PGCD dedeux entiers naturels ) 2. Soit ∈ ∗ et ∈ ∗ : PGCD(a ;b)= si et seulement b est un diviseur de a (On convient que PGCD(a ; 0) = ) ∈


Exemple : soit

PGCD( ;2) = 2 si = 1 sinon

est pair

Plus généralement : si p est un nombre premier, PGCD(a ; p) = p si p divise a = 1 si p ne divise pas a

TSspe-2009-2010

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M.Bélair

3. Théorème fondamental: Si a , b , q et r sont desentiers relatifs non nuls tels que a = bq + r alors l’ensemble des diviseurs communs à a et à b est égal à l’ensemble des diviseurs communs à b et à r [ D(a ;b)=D(b ;r)] et PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) Démonstration : Soit d un diviseur commun à a et à b (c’est à dire un élément de D(a ;b)). Comme d divise a et d divise b, d divise toute combinaison linéaire dans Z de a et b ;on en déduit que d divisea-bq donc d divise r. Ainsi d est un diviseur commun de b et de r. On a donc montré : Si d est un diviseur commun de a et b alors d est un diviseur commun de b et r C’est à dire : D(a ;b) ⊂ D(b ;r) Inversement, soit d un diviseur commun de b et de r (c’est à dire un élément de D(b ;r)). Comme b divise b et d divise r alors on en déduit que d divise bq+r donc d divise a. Ainsi d est un diviseurcommun de a et de b. On a donc montré : Si d est un diviseur commun de b et r alors d est un diviseur commun de a et b C’est à dire : D(b ;r) ⊂ D(a ;b) Conclusion : D(a ;b)=D(b ;r) et donc PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) Conséquences : Soient a et b des entiers relatifs non simultanément nuls ,alors pour tout entier relatif k , PGCD( a-bk ; b ) =PGCD(a ;b) En particulier : PGCD( ; ) =PGCD( − ; )

Lespropriétés précédentes ont montré que la recherche du PGCD de deux entiers relatifs non nuls peut se ramener à la recherche du PGCD de deux entiers naturels non nuls. Une des méthodes consiste à dresser la liste des diviseurs de a puis la liste des diviseurs de b et de déterminer les diviseurs communs de a et de b : le PGCD(a ;b) est alors le plus grand de ces diviseurs communs. Mais cette méthodepeut s'avérer longue et fastidieuse surtout si a ou b sont grands .On s’efforce donc de trouver des méthodes plus directes. Soit et deux entiers naturels non nuls . Ainsi, on sait déjà, si divise alors PGCD( ; ) = On dispose d’algorithmes qui permettent de déterminer le PGCD de deux entiers naturels non nuls (vus en 3ème ) : 3) Algorithme d’EUCLIDE(pour deux entiers naturels non nuls) Le théorème...
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