Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30) l’ensemble des diviseurs communs à 12 et à 30 On a : D(12 ;30)= {-6;-3;-2;-1;1 ;2 ;3 ;6} D(12 ;30) est un ensemble fini ; il admet un plus grand élément 6 : 6 est le plus grand diviseur commun à 12 et à 30 ; on l’appelle le plus grand commun diviseur de 12 et de 30 ; on le note PGCD(12 ;30). On remarque aussi que tout diviseur commun à 12 et à 30 est un diviseur de leur PGCD Plus généralement : Soient et deux entiers relatifs non nuls et ( ; ) l’ensemble des diviseurs communs à et à . Cet ensemble est non vide ( il contient -1 et 1) et fini ; il admet un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur de et de ; on le note PGCD( ; ) PGCD (a ;b) est un entier naturel Si d = PGCD(a ;b) alors d est un diviseur commun de a et b donc d divise a et d divise b B) PROPRIETES 1. Soit a et b des entiers relatifs non nuls ( ∈ ∗ et ∈ ∗ ) alors : • PGCD (a ;b) est un entier naturel • PGCD(a ;b)=PGCD(b ;a) • PGCD(a ; 1)=1 • PGCD( a ; -a) = PGCD(a ; a)= • si a ∈IN alors PGCD(a ; a)= a • PGCD(-a ;b)= PGCD(a ;-b)= PGCD(-a ;-b)= PGCD( ; ) ( on peut donc se ramener à la recherche du PGCD de deux entiers naturels ) 2. Soit ∈ ∗ et ∈ ∗ : PGCD(a ;b)= si et seulement b est un diviseur de a (On convient que PGCD(a ; 0) = ) ∈
∗

Exemple : soit

PGCD( ;2) = 2 si = 1 sinon

est pair

Plus généralement : si p est un nombre premier, PGCD(a ; p) = p si p divise a = 1 si p ne divise pas a

TSspe-2009-2010

1

M.Bélair

3. Théorème fondamental: Si a , b , q et r sont des entiers