Exercices corrigés Arithmétiques dans Z
Exercice 1 :
Division Euclidienne
Dans une division euclidienne entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39 ?
Correction
On a 320 = q × b + 39 ⇔ q × b = 320 − 39 = 281 . Cherchons les diviseurs de 281 : 1 et 281. Ce sont les seules valeurs possibles de q et b.
Exercice 2 :
1. Écrire l'ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6.
2. Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 4 divise 6.
3. Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 4 divise n + 2.
4. Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n − 4.
Correction
1. L'ensemble des diviseurs de 6 est D = {−6 ; −3 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6}.
2. n − 4 divise 6 si n − 4 appartient à D, soit si n appartient à D + 4 = {−2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10}.
3. On peut remarquer que n + 2 = n − 4 + 6. Puisqu'il est évident que n − 4 divise n − 4, le résultat du 2. permet alors d'affirmer que si n − 4 divise n + 2, alors n − 4 divise n + 2 − (n − 4) c'est-à-dire n − 4 divise 6.
Réciproquement si n − 4 divise 6 alors n − 4 divise 6 + n − 4 c'est-à-dire n − 4 divise n + 2. On a donc démontré que n − 4 divise n + 2 si et seulement si n − 4 divise 6.
4. On peut raisonner en utilisant le même principe qu'à la question précédente. On remarque que
3n − 4 = 3(n + 1) − 7, et puisqu'il est immédiat que n + 1 divise 3(n + 1), on peut écrire :
- si n + 1 divise 3n − 4, alors n + 1 divise 3n − 4 − 3(n + 1) c'est-à-dire n + 1 divise −7 ; réciproquement : si n + 1 divise −7 alors n + 1 divise −7 + 3(n + 1) c'est-à-dire n + 1 divise 3n − 4.
L'ensemble des diviseurs de −7 (ou de 7) étant {−7 ; −1 ; 1 ; 7}, on en déduit que n + 1 divise 3n − 4 si et seulement si n + 1 appartient à {−7 ; −1 ; 1 ; 7} soit n appartient à {−8 ; −2 ; 0 ; 6}.
Exercice 3 :
Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en utilisant l’algorithme d’Euclide.