Certaines fonctions n'existent qu'à partir d'un certain réel a sans être nécessairement définie en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a.
Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] − 2 ; + ∞[dont la courbe représentative est :

Lorsque x se rapproche de 2 par la droite, f (x) croît sans bornes dans le sens où f (x) devient plus grand que n’importe quelle valeur donnée, si grande soit-elle.
On dit alors que f (x) tend vers + ∞ et on écrit .
Graphiquement lorsque x se rapproche de 2, la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d’équation x = 2
La droite D étant parallèle à l’axe des ordonnées on dit alors que D est une asymptote verticale à la courbe de f au voisinage de 2.
Remarque : Il existe aussi des fonctions qui ont pour limite − ∞ quand x tend vers un réel a, dans ce cas également la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe.
Les différents cas :

Soit a un réel, dire que la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe représentative de la fonction f signifie que la limite de f (x) est infinie quand x tend vers a. Soit
II ASYMPTOTE HORIZONTALE
Soit f la fonction définie sur par . Nous avons soit .
Ainsi quand x tend vers − ∞, ou vers + ∞, f (x) prend des valeurs de plus en plus proche de 2.
Intuitivement cela signifie qu’en allant vers − ∞ ou vers + ∞ , la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite Δ d’équation y = 2.
La droite Δ étant parallèle à l’axe des abscisses, on dit alors que Δ est une asymptote horizontale à la courbe de f .

Pour déterminer, les positions relatives de la courbe représentative de la fonction f et de l’asymptote Δ d'équation y = 2, intéressons nous au signe de la différence f (x) − 2. or : pour x < − 1, et la courbe est au dessus de l’asymptote quand x → −∞ pour x > − 1, et la courbe est au dessous de