Assymptote

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 5 (1009 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 6 avril 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Certaines fonctions n'existent qu'à partir d'un certain réel a sans être nécessairement définie en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a.
Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] − 2 ; + ∞[dont la courbe représentative est :

Lorsque x se rapproche de 2 par la droite, f (x) croît sans bornes dans le sens oùf (x) devient plus grand que n’importe quelle valeur donnée, si grande soit-elle.
On dit alors que f (x) tend vers + ∞ et on écrit .
Graphiquement lorsque x se rapproche de 2, la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d’équation x = 2
La droite D étant parallèle à l’axe des ordonnées on dit alors que D est une asymptote verticale à la courbe def au voisinage de 2.
Remarque : Il existe aussi des fonctions qui ont pour limite − ∞ quand x tend vers un réel a, dans ce cas également la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe.
Les différents cas :




Soit a un réel, dire que la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe représentative de la fonction f signifie que la limite de f (x) est infinie quand x tendvers a. Soit
II ASYMPTOTE HORIZONTALE
Soit f la fonction définie sur par .
Nous avons
soit .
Ainsi quand x tend vers − ∞, ou vers + ∞, f (x) prend des valeurs de plus en plus proche de 2.
Intuitivement cela signifie qu’en allant vers − ∞ ou vers + ∞ , la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite Δ d’équation y = 2.
La droite Δ étantparallèle à l’axe des abscisses, on dit alors que Δ est une asymptote horizontale à la courbe de f .

Pour déterminer, les positions relatives de la courbe représentative de la fonction f et de l’asymptote Δ d'équation y = 2, intéressons nous au signe de la différence f (x) − 2.

or :
pour x < − 1, et la courbe est au dessus de l’asymptote quand x → −∞
pour x > − 1, et la courbe est audessous de l’asymptote quand x → + ∞
Remarque :

or la différence f (x) − 2 représente la différence d'ordonnées entre un point de la courbe de f et le point de même abscisse de l'asymptote Δ.
Ainsi plus x devient grand (en valeur absolue) et plus la distance entre la courbe de f et l'asymptote Δ devient petite.
Cela vérifie ce que l'on constatait sur le graphique...
Une courbe peuts’approcher de l’asymptote par des valeurs inférieures, soit par des valeurs supérieures, ou encore par des valeurs alternativement supérieures et inférieures.
Les différents cas :

et pour x < m > 0 alors C est au dessus de Δ

et pour x < m < 0 alors C est au dessous de Δ
et pour x > m > 0 alors C est au dessus de Δ et pour x > m < 0 alors C est au dessous de Δ
Soit b un réel,lorsque alors la droite Δ d’équation y = b est asymptote à la courbe C f représentative de la fonction f au voisinage de + ∞ ( resp. − ∞)
L’étude du signe de f (x) − b permet de préciser la position relative de la courbe par rapport à l’asymptote .

III ASYMPTOTE OBLIQUE
Soit f la fonction définie sur par .
1. Nous avons : et . Soit .
Traçons la courbe C f représentative de lafonction f.

En allant vers −∞ ou vers +∞, la courbe C f semble se rapprocher de plus en plus d’une droite Δ.
2. Montrons par le calcul que la droite Δ d'équation y = − x + 1 est une asymptote à la courbe C f en −∞ et en + ∞.
Comme précédemment, on regarde la différence des ordonnées d'un point de la courbe et du point de la droite de même abscisse : f(x) − (−x + 1)

or
donc .
Autrementdit, lorsque x tend vers − ∞, ou vers +∞, f(x) est proche de − x + 1.
On dit que la droite Δ est asymptote oblique à la courbe C f en − ∞ et en + ∞
D’autre part pour tout réel x : soit f (x) − (− x + 1) > 0, ainsi la courbe C f est au dessus de l’asymptote Δ. Cela vérifie ce que l'on constatait sur le graphique...
Dire que la droite Δ d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe...
tracking img