Chapitre 9
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
9.1

Equations diff´ erentielles lin´ eaires du premier ordre

9.1.1

Pr´ esentation du probl` eme Nous nous int´eressons `a la r´esolution des ´equations de la forme y + a(x)y = b(x).
Dans cette ´equation, a et b sont des fonctions de x, d´efinies et continues sur un intervalle ouvert
I de R. Par exemple y + y sin x = 2 sin x sur R. On cherche une fonction y de x, d´efinie et continˆ ument d´erivable sur I, qui v´erifie l’´egalit´e ci-dessus (o` u y est bien sˆ ur la d´eriv´ee de y). C’est une ´equation diff´erentielle (c’est `a dire une
´equation faisant intervenir une fonction inconnue y et ses d´eriv´ees). Dire qu’elle est du premier ordre veut dire que cette ´equation ne fait intervenir que la fonction y et sa d´eriv´ee premi`ere y .
La lin´earit´e est une propri´et´e importante. On dispose d’une m´ethode g´en´erale pour les
´equations lin´eaires : on remarque que si y1 et y2 sont deux solutions de l’´equation lin´eaire u(y) = b, alors leur diff´erence y1 − y2 v´erifie u(y1 − y2 ) = 0. On est ainsi conduit a` consid´erer l’´equation sans second membre, ou ´equation homog`ene u(y) = 0. Supposons que l’on a d´etermin´e l’ensemble S des solutions de l’´equation sans second membre , et que l’on connaisse une solution particuli`ere y1 de l’´equation compl`ete. Alors y est solution de l’´equation compl`ete si et seulement si on a y = y1 + z o` u z ∈ S est solution de l’´equation sans second membre. Ceci s’´enonce de la mani`ere suivante.
La solution g´en´erale de l’´equation lin´eaire compl`ete est somme d’une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete et de la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre. Ceci va guider notre d´emarche pour l’´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre. On commence par chercher la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre, puis on voit comment trouver une solution de l’´equation compl`ete.

9.1.2

La solution g´ en´ erale