Automatique
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Signaux d’entrée
Impulsion : Échelon : Rampe : xI = δ xE = u xR (t) = t u(t) ⇔ ⇔ ⇔ XI = 1 XE = 1/s XR = 1/s2
A. 1er ordre à constante de temps
FONCTION DE TRANSFERT :
H= K 1+ T s 1 s+ 1 T
REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I =
K K = × 1+ T s T
La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI :
y I (t ) = yI(t) K −T e u (t ) T
t
y I (0 ) =
K T
K T
y I′(0 ) = −
y I (∞ ) = 0 y I′(∞ ) = 0 Asymptote : y (t ) = 0
K T2
T
t
REPONSE INDICIELLE :
YE = H × X E =
K 1 × 1+ T s s
En décomposant YE en éléments simples on obtient : 1 T 1 1 YE = K − =K − s s + 1 s 1+ T s T La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YE : t − T y E (t ) = K 1 − e
u (t )
y E (0 ) = 0 K ′ y E (0 ) = T y E (∞ ) = K ′ y E (∞ ) = 0 Asymptote : y (t ) = K t
yE(t) K
T
t
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REPONSE A UNE RAMPE :
YR = H × X R =
K 1 × 2 1+ T s s
En décomposant YR en éléments simples on obtient : T 1 T YR = K − + 2 + 1 s s s+ T La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YR : t − T y R (t ) = K t − T + T e
u (t )
y R (0 ) = 0 ′ y R (0 ) = 0 y R (∞ ) = ∞ ′ y R (∞ ) = K Asymptote : y (t ) = K (t − T )
yR(t)
y (t ) = K t
y (t ) = K (t − T ) t B. 1er ordre généralisé
FONCTION DE TRANSFERT :
H =K
1+ T ′ s 1+ T s 1+ T ′ s +
1+ T ′ s REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I = K =K 1+ T s
T′ T′ − T T 1+ T s
T′ T′ ′ 1− T s + T ′ (T − T ′) T ′ (T − T ′) 1 1 T + T =K + YI = K × × =K + 1 T T2 1+ T s 1+ T s 1+ T s T T s+ T La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI : y I (t ) = yI(t) Dirac de poids K T’ / T
K T
(T − T ′) e − Tt T ′ δ + T y I( t) K (T − T ′) T2
u (t )
T
K (T − T ′) T2
Avance de phase :T’>T
t
T
Retard de