Automatismes

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 34 (8274 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 21 avril 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
CAPES de Mathématiques Résumé de cours d’algèbre linéaire
2001/2002

Université de Cergy Pontoise
Valérie Nachef Alexandre Mizrahi

Espaces vectoriels - Applications linéaires
Définition
√ Soit K un sous-corps de C (Par exemple Q, R, mais aussi Q( 2)). On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une loi interne notée + et d’une loi externe notée . avec les propriétés suivantes :1. (E, +) est un groupe abélien 2. La loi externe . vérifie (a) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E (b) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E (c) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E (d) ∀x ∈ E 1.x = x λ.(x + y) = λ.x + λ.y (λ + µ).x = λ.x + µ.x (λµ).x = λ(µ.x)

On a les propriétés suivantes : α.0 = 0, 0.x = 0, α.(−x) = −α.x = (−α).x

Applications linéaires
Soient E et F deux espaces vectoriels et u une application de E dans F . On dit queu est linéaire si u(x + y) = u(x) + u(y) et u(λ.x) = λ.u(x) On note L(E) l’ensembles des endomorphismes de E. C’est une algèbre pour les lois +, . et ◦. On note GL(E) le groupe des automorphimes de E muni de la loi ◦.

Sous-espaces vectoriels
Un ensemble E ⊂ E non vide est un sous-espace vectoriel de E si E est stable pour les lois + et ’.’. Si u : E → F est une application linéaire alors Ess-ev de E ⇒ u(E ) ss-ev de F et F ss-ev de F ⇒ u−1 (F ) ss-ev de E. On a les cas particuliers : imu = u(E) et ker u = u−1 (0F ) sont des sous-espaces vectoriels de F et E respectivement. On appelle sous-espace vectoriel engendré par une partie X de E et on note vect(X) le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient X. Si vect(X) = E, X est une partie génératrice de E. L’ensemble descombinaisons linéaires d’une famille (xi ) d’éléments d’un espace vectoriel E est le sous-espace vectoriel engendré par la famille.

Somme directe d’une famille finie de sous-espaces vectoriels
Soit (Mi )1≤i≤n une famille finie de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. L’application Ψ : i=1 Mi → n E, (x1 , · · · , xn ) → x1 + · · · + xn est linéaire. La somme i=1 Mi qui est l’image de Ψ estdite directe ssi Ψ est injective. On note alors la somme M1 ⊕ · · · ⊕ Mn . n Cette définition est équivalente à i=1 Mi est directe ssi
n n

∀x ∈ F, ∃!(x1 , x2 , ...xn ) ∈ M1 × M2 × ... × Mn , x =
j=1 n i=1

xj
i−1 j=1

On a le Théorème : La somme

Mi est directe ssi ∀i ∈ {2, · · · , 0}, Mi ∩

Mj = {0}

Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Soient M et N deux sous-espaces vectorielsde E. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. E = M ⊕ N 2. E = M + N et M ∩ N = {0} 3. ∀x ∈ E, ∃!(x1 , x2 ) ∈ M × N, x = x1 + x2 On dit que M et N sont deux sous-espaces supplémentaires de E.

1

Projecteur
Soit p ∈ L(E). On dit que p est un projecteur si p ◦ p = p. On a le Théorème : Si p est un projecteur sur E alors E = im p ⊕ ker p. Équivalence des notions de projections et deprojecteurs

Partie libre - Partie génératrice
On appelle famille (ou suite) presque nulle d’éléments du corps K toute suite (αi )i∈I telle que J = {i ∈ I; αi = 0} est fini. On note K (I) l’ensemble des familles presque nulles indicées par I, d’éléments du corps K. (xi )i∈I est une famille génératrice si ∀x ∈ E, ∃α ∈ K (I) , x = i∈I αi xi (xi )i∈I est une famille libre si ∀α ∈ K (I) , i∈I αi xi = 0⇒ ∀i ∈ Iαi = 0 Une base est une famille libre et génératrice et on a : (xi )i∈I est une base ssi ∀x ∈ E, ∃!α ∈ K (I) x = i∈I αi xi Soit e = (ei )i∈I une famille de vecteurs de E. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1. e est une base de E. 2. e est une famille génératrice minimale pour l’inclusion. 3. e est une famille libre maximale pour l’inclusion. Toute sous-famille d’une partie libreest une partie libre et toute sur-famille d’une partie génératrice est une partie génératrice. L’image par une surjection linéaire d’une famille génératrice est une famille génératrice. L’image par une injection linéaire d’une famille libre est une famille libre. L’image par un isomorphisme d’une base est une base. L’image par une application linéaire u d’une famille génératrice est une famille...
tracking img