Autorretrato en la frontera mexico estados unidos

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  • Publié le : 28 novembre 2010
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Corrigé du test Ch 8 : Equations différentielles
Modèles d’évolution

Exercice 1 (4 points)
Les quatre questions sont indépendantes.
1) Déterminer les solutions de l’équation différentielle : 3 y’ – 2 y = 0 :
L’équation s’écrit : y’ = y .
Les solutions sont les fonctions : x Ce avec C constante. (0,5 pt)
2) Déterminer la fonction f solution del’équation différentielle y’ + 5 y = 0 telle que la courbe représentative de f passe par le point A( 0 ; – 1 ) .
L’équation s’écrit : y’ = – 5 y .
Les solutions sont les fonctions : x Ce– 5 x avec C constante. (0,5 pt)
La solution f dont la courbe passe par A(0 ;–1) vérifie : f(0) = – 1 d’où –1 = C e0 ; C = – 1 .
Donc f est définie sur R par f(x) = – 1 e– 5 x. (0,5 pt)
3) Soit (E)l’équation différentielle : y’ = – 2y + 5 .
Résoudre (E) puis rechercher la solution g de (E) telle que g(1) = 0 .
Indiquer sans justification le sens de variation de g, l’équation de la droite asymptote à la courbe de g et la position de la courbe de g par rapport à cette asymptote.
(E) est de la forme y’ = ay + b avec a = –2 et b = 5 . Fonctions solutions : x Cea x +
Les solutions de (E) sont lesfonctions : x Ce– 2 x + 2,5 avec C constante. (0,5 pt)
La solution g de (E) est telle que g(1) = 0 d’où 0 = C e– 2 + 2,5 . C = = – 2,5 e2.
Donc g est définie sur R par g(x) = – 2,5 e2 e– 2 x + 2,5. (0,5 pt)
Comme a < 0 et C < 0 la fonction g est croissante, sa courbe est asymptote à la droite horizontale d’équation y = 2,5 et elle se situe au dessous de cette droite asymptote. (0,5 pt)
4)Résoudre l’équation différentielle (F) : y’ + y – 2 = 0 puis rechercher la solution h de (F) telle que h’(0) = 7 .
L’équation (F) s’écrit : y’ = – y + 2 , de la forme y’ = ay + b avec a = – 1 et b = 2 .
Les solutions de (F) sont les fonctions : x Ce–x + 2 avec C constante. (0,5 pt)
Si h est une solution de (F) alors h(x) = Ce–x + 2 et h’(x) = – h(x) + 2 = – Ce–x – 2 + 2 = –Ce–x
Comme h’(0) = 7 onen déduit que 7 = – C e0 d’où C = – 7 .
Donc h est définie sur R par h(x) = – 7 e–x + 2. (0,5 pt)

Exercice 2 (2,5 points)
1) Démontrer que la fonction g définie sur R par g(x) = 0,4 cos x + 0,2 sin x est solution de l’équation différentielle (E) : y’(x) + 2y(x) = cos x .
g’(x) + 2 g(x) = 0,4(– sin x) + 0,2 cos x + 2(0,4 cos x + 0,2 sin x) = cos x .
Donc g est solution de l’équationdifférentielle (E) : y’(x) + 2y(x) = cos x. (0,5 pt)
2) Démontrer que f est solution de (E) si, et seulement si, f – g est solution de l’équation différentielle y’ + 2 y = 0 .
f est solution de (E) si, et seulement si, f ’(x) + 2 f(x) = cos x .
Comme g est solution de (E) on a : g’(x) + 2g(x) = cos x .
D’où f est solution de (E) si, et seulement si, f ’(x) + 2 f(x) = g’(x) + 2g(x) .
Ou bienf est solution de (E) si, et seulement si, f ’(x) – g’(x) + 2 f(x) – 2g(x) = 0.
Ou encore f est solution de (E) si, et seulement si, ( f – g)’(x) + 2 (f – g)(x) = 0.
Donc f est solution de (E) si, et seulement si, f – g est solution de l’équation différentielle
y’ + 2 y = 0 . (1 pt)
3) Résoudre (E) .
L’équation différentielle y’ + 2 y = 0 peut s’écrire : y’ = – 2y . Les solutionssont les fonctions : x Ce– 2 x avec C constante .
L’équivalence de la question 2) devient :
f est solution de (E) si, et seulement si, (f – g )(x) = Ce– 2 x ou bien f(x) – g(x) = Ce– 2 x .
Donc les solutions de (E) sont les fonctions : x Ce– 2 x + g(x)
x Ce– 2 x + 0,4 cos x + 0,2 sin x . (1 pt)

Exercice 3 (3,5points)
Un biologiste observe la croissance d’une population de bactéries en milieu fermé.
La population initiale est 100 bactéries. La capacité maximale du milieu est 1000 bactéries.
Soit N(t) le nombre de bactéries à l’instant t (exprimé en heures).
Les observations faites conduisent à modéliser la situation par l’équation différentielle :
N ’(t) = 0,07 N(t) ( 1 – 10 – 3 N(t) )...
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