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RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ LE TRAITÉ D’ALGÈBRE D’AL-KHWARISMI
INTRODUCTION
Abu Abd Allah Muhammad ibn Musa Al-Khwarismi(1) était originaire de Khwarizm, la moderne Khiva, une ville située au sud de la mer d’Aral. On n’a sur la vie de ce savant aucun renseignement précis. On sait seulement qu’il a travaillé dans la bibliothèque d’alMa’mün (calife de 813 à 833) où il a commencé ses travaux en établissant des tables astronomiques. C’est à l’introduction de l’arithmétique d’Al-Khwarismi en Occident au XIIème siècle que l’on doit l’apparition dans nos contrées de la numération de position. On ne connaît de nos jours qu’un seul manuscrit d’algèbre de cet auteur, intitulé « Al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w’alMuqàbala » dont Gherardo di Cremona (1114-1187) a donné une traduction latine. Al-Khwarismi classe les équations de degré inférieur ou égal à deux en six types (où tous les coefficients sont strictement positifs)
« Des carrés sont égaux à des racines Des carrés sont égaux à un nombre Des racines sont égales à un nombre Des carrés et des racines sont égaux à un nombre Des carrés et un nombre sont égaux à des racines Des racines et un nombre sont égaux à des carrés »
2

ax2 = bx ax2 = c bx = c ax + bx = c a x2 + c = bx bx + c = ax2

Par ailleurs, il traite les calculs sur les équations essentiellement à l’aide de trois procédés : al-Jabr(2) consiste, lorsque l’un des membres d’une équation comporte un terme à soustraire, à l’ajouter dans l’autre membre; al-Muqàbala consiste à réduire les termes semblables de part et d’autre; al-Hatt consiste à diviser les deux membres par un même nombre. Exemples : Soit l’équation : par al-Jabr : par al-Muqàbala : par al-Hatt : Soit l’équation : par al-Jabr : par al-Hatt : Voici, pour les trois équations canoniques :

8x − 8x + 6 = 6x 2 + 4 8 x 2 + 6 = 6 x 2 + 8x + 4 2 x 2 + 2 = 8x
2

x 2 + 1 = 4x 6 x 2 − 50 = 22 − 18x 6 x 2 + 18 x = 72 x 2 + 3x =