Azdzedzer

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Première S Pour le . . . . . . . . . . . . .

RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ LE TRAITÉ D’ALGÈBRE D’AL-KHWARISMI
INTRODUCTION
Abu Abd Allah Muhammad ibn Musa Al-Khwarismi(1) était originaire de Khwarizm, la moderne Khiva, une ville située au sud de la mer d’Aral. On n’a sur la vie de ce savant aucun renseignement précis. On sait seulement qu’il a travaillé dans labibliothèque d’alMa’mün (calife de 813 à 833) où il a commencé ses travaux en établissant des tables astronomiques. C’est à l’introduction de l’arithmétique d’Al-Khwarismi en Occident au XIIème siècle que l’on doit l’apparition dans nos contrées de la numération de position. On ne connaît de nos jours qu’un seul manuscrit d’algèbre de cet auteur, intitulé « Al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr w’alMuqàbala» dont Gherardo di Cremona (1114-1187) a donné une traduction latine. Al-Khwarismi classe les équations de degré inférieur ou égal à deux en six types (où tous les coefficients sont strictement positifs)
« Des carrés sont égaux à des racines Des carrés sont égaux à un nombre Des racines sont égales à un nombre Des carrés et des racines sont égaux à un nombre Des carrés et un nombre sont égaux àdes racines Des racines et un nombre sont égaux à des carrés »
2

ax2 = bx ax2 = c bx = c ax + bx = c a x2 + c = bx bx + c = ax2

Par ailleurs, il traite les calculs sur les équations essentiellement à l’aide de trois procédés : al-Jabr(2) consiste, lorsque l’un des membres d’une équation comporte un terme à soustraire, à l’ajouter dans l’autre membre; al-Muqàbala consiste à réduire les termessemblables de part et d’autre; al-Hatt consiste à diviser les deux membres par un même nombre. Exemples : Soit l’équation : par al-Jabr : par al-Muqàbala : par al-Hatt : Soit l’équation : par al-Jabr : par al-Hatt : Voici, pour les trois équations canoniques :

8x − 8x + 6 = 6x 2 + 4 8 x 2 + 6 = 6 x 2 + 8x + 4 2 x 2 + 2 = 8x
2

x 2 + 1 = 4x 6 x 2 − 50 = 22 − 18x 6 x 2 + 18 x = 72 x 2 + 3x =12

x 2 + px = q px + q = x 2 x 2 + q = px

où tous les coefficients sont strictement positifs,

la technique de résolution et sa justification telles que les a proposées Al-Khwarismi. Cette solution effectuée dans le cadre de la géométrie euclidienne ne prend pas en compte une éventuelle racine négative.

1 2

De son nom déformé vient le terme d’«algorithme». De ce procédé vient le termed’«algèbre».

I- « DES CARRÉS ET DES RACINES SONT ÉGAUX À UN NOMBRE » x2 + px = q 1) Méthode de résolution :
« Un carré et dix racines égalent trente neuf Prends la moitié des racines, cela fera cinq Tu la multiplies par elle même, cela fera vingt cinq Additionne les à trente neuf, cela fera soixante quatre Tu prends la racine qui est huit dont tu retranches la moitié des racines qui est cinqIl restera trois et c’est la racine du carré que tu voulais »

x 2 + 10 x = 39
10 ÷ 2 = 5 52 = 25 25 + 39 = 64
64 = 8

p = 10 q = 39 p =5 2
p   + q = 64 2
2

∆' = 64
− p + ∆' = 3 2

8 − 5 =3
la solution est 3

la solution positive de l’équation est 3

2) « Figure de la preuve »
x

p 4
2,5

L’aire de la partie hachurée est égale à x 2 + 10x , c’est à dire à 39; l’airedu “grand carré” égale 39 + 25 , soit 64 ; donc le côté du “grand carré” est égal à 8, et enfin le côté x cherché égale 8 − 5 , soit 3.

x

x
2,5

2,5

2,5

p 4 p 4 x p 4

3)

Exercice 1.(Extrait du brevet)
P Q A B 3

a) Exprimer, en fonction de x, l’aire de la partie hachurée. b) Si l’aire de la partie hachurée est égale à 133 : quelle est l’aire du carré PQRS ? quelle est lalongueur du côté du carré PQRS ? quelle est la longueur x du côté du carré ABCD ? c) On vérifiera que le nombre x ainsi trouvé est tel que : x 2 + 12 x = 133 .

x

D S 3 x

C 3

3 R

Exercice 2. a) Réaliser des schémas analogues pour trouver une solution de chacune des équations suivantes :

x 2 + 8 x = 65
x + 10 x = 17 ,25
2

b) Vérifier que : la première équation admet aussi...
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