Algèbre de Boole
Dans l’intégralité de ce problème, E désigne un ensemble. On appelle algèbre de Boole sur l’ensemble E , toute partie A de ℘ (E ) telle que : (1) (2) (3)

∅∈A , ∀A ∈ A , A ∈ A (où A désigne le complémentaire de A dans E ) et ∀A, B ∈ A , A ∪ B ∈ A .

1. Propriétés élémentaires : Dans cette question A désigne une algèbre de Boole sur E . 1.a 1.b 2. 2.a 2.b Montrer que E ∈ A . Etablir : ∀A, B ∈ A , A ∩ B ∈ A et A \ B ∈ A . Quelques exemples : Donner un exemple simple d’algèbre de Boole sur E . Soit (E1 , E 2 ,…, En ) une partition de E .     On considère A = ∪ E i I ⊂ {1, 2,…, n } .   i∈I      Montrer que A est une algèbre de Boole. 2.c Ici E = ℝ . On considère A l’ensemble formé par les réunions d’un nombre fini d’intervalles de ℝ . Montrer que A est une algèbre de Boole sur ℝ . On rappelle au passage que l’ensemble vide est considéré être un intervalle de ℝ . Endomorphisme d’algèbre de Boole Soit A une algèbre de Boole sur E . On appelle endomorphisme de A toute application f : A → A telle que : (1) ∀A ∈ A , f (A) = f (A) et (2) ∀A, B ∈ A , f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B ) . 3.a 3.b 3.c 3.d Justifier que f (E ) = E et f (∅) = ∅ . Montrer que ∀A, B ∈ A , f (A ∩ B ) = f (A) ∩ f (B ) et f (A \ B ) = f (A) \ f (B ) . Etablir aussi ∀A, B ∈ A , A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B ) . On note K = {A ∈ A f (A) = ∅} appelé noyau de f . Montrer que f est injective si et seulement si K = {∅} . 4. 4.a Description des algèbres de Boole finies. Soit A une algèbre de Boole sur E . On définit une relation binaire notée R sur E par : x Ry ⇔ ∀A ∈ A , x ∈ A ⇔ y ∈ A . Montrer que R est une relation d’équivalence sur E . Pour x ∈ E , nous noterons Cl (x ) la classe d’équivalence de x modulo la relation R , celle-ci est appelée atome de l’algèbre de Boole A engendré par l’élément x . 4.b 4.c 4.c.i Soit x ∈ E . On note Ax = {X ∈ A x ∈ X } . Etablir que Cl (x ) = On suppose que A est constitué d’un nombre fini d’éléments. Montrer que A contient chacun de ses atomes.

3.