Bac blanc

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Lycée Marlioz - Aix les Bains

Bac Blanc 2011 Mathématiques - Terminale S
Candidats n’ayant pas choisi la spécialité maths

18 avril 2011

Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications entrent pour une large part dans l’appréciation des copies, sauf mention explicite du contraire dans l’énoncé. Le barème est donné à titre indicatif. Les calculatrices sontautorisées.

Aucune sortie définitive n’est autorisée avant 11h55.

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Exercice 1 (7 points). Commun à tous les candidats PARTIE A - Restitution organisée des connaissances On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de u ◦ v ainsi que ses conditions d’utilisation. On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur ]0 ;+∞[ et que pour tout x de ]0 ; +∞[ on a : exp(ln x) = x. À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie 1 sur ]0 ; +∞[ qui à x associe . x PARTIE B - Étude de fonction On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par ln x . x

f (x) = x +

Le but du problème est l’étude de cette fonction et le calcul d’une aire. On note C la courbereprésentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; i, j) d’unité graphique 3 cm. I - Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = x2 + 1 − ln x. 1. Étudier les variations de g sur ]0 ; +∞[. 2. En déduire le signe de g sur ]0 ; +∞[. II - Étude de la fonction f et tracé de sa courbe représentative C 1. Déterminer la limite en 0 de lafonction f . Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ? 2. Déterminer la limite en +∞ de f puis montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C . 3. Soit f la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f (x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. 4. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ puis dresser le tableau de variations de la fonction f . 5. Déterminer lepoint A de la courbe C en lequel la tangente T est parallèle à la droite D. 6. Dans le repère (O; i, j) tracer les droites D et T et la courbe C . III - Calcul d’une aire 1. Montrer que 1 ln x dx = . x 2 1 2. En déduire l’aire de la région du plan délimitée par les droites d’équation x = 1, x = e, l’axe des abscisses et la courbe C . On exprimera cette aire en cm2 . Hachurer cette région sur legraphique.
e

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Exercice 2 (3 points). Commun à tous les candidats Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 1. On considère la suite (tn ) définie pour tout entier naturel n par : t0 = 0 et pour tout entier naturel n, tn+1 = tn +Proposition 1 : Pour tout entier naturel n, tn =
n . n+1

1 . (n + 1)(n + 2)

2. On considère trois suites (un ) , (vn ) et (wn ) définies sur N telles que : pour tout entier naturel n, un wn vn .

Proposition 2 : Si les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes alors la suite (wn ) est convergente. 3. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur l’intervalle [0 ; 1]. Proposition 3 : Si
1 0f (x) dx =

1 0

g(x) dx alors f = g sur l’intervalle [0 ; 1].

Exercice 3 (5 points). Commun à tous les candidats On considère la suite de nombres réels (un ) définie sur N par : u0 = −1, u1 = 1 1 et, pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 − un . 2 4

1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un ) n’est ni arithmétique ni géométrique. 2. On définit la suite (vn ) en posant, pour toutentier naturel n vn = un+1 − 1 un . 2 a. Calculer v0 . b. Exprimer vn+1 en fonction de vn . c. En déduire que la suite (vn ) est géométrique de raison 1 . 2 d. Exprimer vn en fonction de n. 3. On définit la suite (wn ) en posant, pour tout entier naturel n : wn = a. Calculer w0 . b. En utilisant l’égalité un+1 = vn + 1 un , exprimer wn+1 en fonction de un et de vn . 2 c. En déduire que pour tout...