Bac de maths 2010

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Amérique du Nord
Exercice 1 : (4 points) 1. a)
→

Juin 2010

Série S Corrigés

Page 1 sur 12

Commun à tous les candidats

Coordonnées de AB : (– 3, – 4, 1) → Coordonnées → AC→ 5, 2, – 7) de : (– → → Les coordonnées de AB et AC ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. Ils définissentdonc un plan b)
→ → → →

n .AB = 1 × (– 3) – 1 × (– 4) – 1 × 1 = – 3 + 4 – 1 = 0 n .AC = 1 × (– 5) – 1 × 2 – 1 × (– 7) = – → 2 + 7 = 0 5 – → → Le vecteur → n est donc orthogonal aux vecteurs AB et AC qui ne sont pas colinéaires, donc le  vecteur n (1 , – 1 , – 1) est un vecteur normal au plan (ABC). c) n (1 , – 1 , – 1) est un vecteur normal au plan (ABC) donc une équation du plan(ABC) est : x – y – z + d = 0 avec d réel. A ∈ (ABC) donc 1 + 2 – 4 + d = 0 soit d = 1 Une équation du plan (ABC) est : x – y – z + 1 = 0 2. a) La droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC) à pour vecteur directeur un → vecteur normal au plan (ABC). Donc n est un vecteur directeur de cette droite. → Une représentation paramétrique de la droite ayant pour vecteur directeur n etpassant x=t  par le point O est :  y = – t , t ∈ I R. z=–t  On notera D cette droite pour la suite de l’exercice. b) Le point O’, projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC) est le point d’intersection de la droite D avec le plan (ABC), car D est orthogonale au plan (ABC) et passe par O.
→

O’(x, y, z) = D ∩ (ABC)

 –  x = y – z + 1 = 0  tx+ tt+ t + 1 = 0  x t = ⇔y=–t ⇔y=–t⇔ z=–t z=–t  
1 1 1 , , ). 3 3 3
→

1 3 1 x=– 3 1 y= 3 1 z= 3 t=–

Les coordonnées du point O’ sont (– 3. Soit t le réel tel que BH = t BC.. a) BO. BC = (→ → → → BH + HO). BC = BH. BC + HO. BC
→ → → → → → → →

HO. BC → car H est le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC). =0 → BH = t BC. → →  2 → → → → BO.BC Donc : BO. BC = t BC. BC =t || BC || Donc t = .  2 || BC ||
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b)
→

Juin 2010

Série S Corrigés

Page 2 sur 12

Coordonnées de BO : (2, 6, – 5) → Coordonnées de BC : (– 2, 6, – 8)
→ →

Donc : BO. BC = 2 × (– 2) + 6 × 6 + (– 5) × (– 8)= – 4 + 36 + 40 = 72  2 || BC || = (–2)2 + 62 + (– 8)2 = 4 + 36 + 64 = 104 Donc t = 72 9 = 104 13

Coordonnées du point H(xH , yH , zH ) : Coordonnées de BC : (– 2, 6, – 8) → Coordonnées de BH : (xH + 2, yH + 6, zH – 5) : Comme On en déduis : 18 –2 13 54 –6 H= 13 72 +5 H=– 13 44 24 7 Les coordonnées du point H sont : – , – , – .  13 13 13   BH = t BC =
→ → →

9 → BC 13 44 1324 H=– 13 7 H=– 13
H

x  y z 

9 × (– 2) 13 9 ×6 H+6= 13 9 × (– 8) H–5= 13
H

+2=

x  ⇔y z 

H

=–

x  ⇔y z 

=–

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Exercice 2 : (3 points)

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Série S Corrigés

Page 3 sur 12Commun à tous les candidats

Notons les événements : U : « la boule tirée porte le numéro 1 » D : « la boule tirée porte le numéro 2 » R : « la boule tirée est rouge » V : « la boule tirée est verte » 20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges donc P(U ∩ R) = 0,2 Les autres portent le numéro 2 donc P(D) = 1 – 0,2 = 0,8 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes donc PD(R) =0,1

et PD(V) = 0,9

1. U et D forment une partition de l’univers, donc en appliquant la formule des probabilités totales : P(R) = P(U ∩ R) + P(D ∩ R) P(R) = 0,2 + PD(R) × P(D) P(R) = 0,2 + 0,1 × 0,8 P(R) = 0,28 28 7 P(R) = = 100 25 2. On cherche à calculer PR(D) 8 2 P(D ∩ R) 0,1 × 0,8 100 25 2 25 2 = = = = × = PR(D) = P(R) 7 7 7 25 7 7 25 25 25 2 Sachant que la boule est rouge, la...
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