BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

SÉRIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES' OPTIONS :*GÉNIE MÉCANIQUE B, C, D, E et GÉNIE DES :MATERIAUX

SESSION 2010

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée 4 heures - Coefficient 4

Le sujet comporte 3 pages. 2 feuilles de papier millimitré seront remises au candidat avec le sujet. L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n 99-186 du 16-11-1999) Le formulaire officiel de lnathématiques est joint au sujet.

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lOMAI2ME1

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Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

EXERCICE 1 (4 points) Le plan est muni d'un repère orthogonal (0; , J). On considère l'équation différentielle (E) sui­ vante : 4y" = -y où y désigne une fonction de la variable réelle .7.: définie et deux fois dérivable sur R et où y" désigne sa dérivée seconde.

1. Soit 1 la fonction numérique définie sur R par : 1(x) 2 cos

(~ +

i).

Calculer l' (x) et 1" (x), puis vérifier que la fonction 1 est une solution de l'équation différentielle

(E).
2. a) Donner la fonne générale des solutions de l'équation différentielle (E). b) Déterminer la solution particulière 9 de l'équation différentielle (E) dont la courbe représentative passe par les points A(O; 1) et B(7r; -J3). c) Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : 9 (x) =

1(x).

EXERCICE 2 (6 points)
Le plan est muni d'un repère orthononnal (0; , ït). On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument 7r . 2 L Résoudre da~s l'ensemble C des complexes l'équation: (z - 2)(Z2 - 2z 2. On considère les points A, B, C, D, E d'affixes respectives: ZA 2; ZB = 1 + iJ3; ze = ZB; ZD = 2e2i~ ; ZE = 2ie-i~. a) Donner le module et un argument de chacun des nombres