Durée : 4 heures

Baccalauréat S Amérique du Sud Novembre 2010

Exercice 1
Commun à tous les candidats

5 points

On admet que si D et D sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite ∆ perpendiculaire à D et D . Si ∆ coupe D en le point I et D en le point J, la distance IJ est appelée distance de D à D . → → → − − − L’espace est rapporté au repère orthonormal O, ı ,  , k . On note D la droite des abscisses et D , la droite de représentation paramé −t  x = y = 3 + 3t , t ∈ R. trique  z = 1−t 1. Justifier que les droites D et D ne sont pas coplanaires. 2. On considère la droite ∆ perpendiculaire commune à D et D . Prouver − − → → → − qu’il existe deux réels b et c tels que le vecteur w = b  + c k soit un vecteur directeur de ∆. 3. a. Vérifier que le plan P d’équation : −3y +z = 0 est un plan contenant la droite D. b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection J de la droite D et du plan P . − → c. Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeur w est sécante à D en un point I et qu’elle est la perpendiculaire commune à D et D . d. En déduire la distance de D à D .

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

D

D J I P ∆

Exercice 2
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité → → − − Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v .

5 points

Soit A, B et P les points d’affixes respectives a = 5 + 5i, b = 5 − 5i et p = 10. On considère un point M, distinct de O, d’affixe z. On note U le point d’affixe u, image du point M par la rotation R A de centre A π et d’angle de mesure − . 2 On note T le point d’affixe t , image du point M par la rotation R B de centre B et π d’angle de mesure . 2 Soit D le symétrique du point M par rapport à O. 1. Démontrer que l’affixe du point U est u = i(10 − z) ; exprimer en fonction de z l’affixe du point T puis justifier que le quadrilatère MU DT est un parallélogramme de centre O. 2. Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z tels que : zz −5z −5z = 0. Justifier que