Bac maths

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Durée : 4 heures

Baccalauréat S Amérique du Sud Novembre 2010

Exercice 1
Commun à tous les candidats

5 points

On admet que si D et D sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite ∆ perpendiculaire à D et D . Si ∆ coupe D en le point I et D en le point J, la distance IJ est appelée distance de D à D . → → → − − − L’espace est rapporté au repère orthonormal O, ı ,  ,k . On note D la droite des abscisses et D , la droite de représentation paramé −t  x = y = 3 + 3t , t ∈ R. trique  z = 1−t 1. Justifier que les droites D et D ne sont pas coplanaires. 2. On considère la droite ∆ perpendiculaire commune à D et D . Prouver − − → → → − qu’il existe deux réels b et c tels que le vecteur w = b  + c k soit un vecteur directeur de ∆. 3. a. Vérifier que le plan Pd’équation : −3y +z = 0 est un plan contenant la droite D. b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection J de la droite D et du plan P . − → c. Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeur w est sécante à D en un point I et qu’elle est la perpendiculaire commune à D et D . d. En déduire la distance de D à D .

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

D

D J I P ∆

Exercice 2Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité → → − − Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v .

5 points

Soit A, B et P les points d’affixes respectives a = 5 + 5i, b = 5 − 5i et p = 10. On considère un point M, distinct de O, d’affixe z. On note U le point d’affixe u, image du point M par la rotation R A de centre A π et d’angle de mesure − . 2 On note T le point d’affixet , image du point M par la rotation R B de centre B et π d’angle de mesure . 2 Soit D le symétrique du point M par rapport à O. 1. Démontrer que l’affixe du point U est u = i(10 − z) ; exprimer en fonction de z l’affixe du point T puis justifier que le quadrilatère MU DT est un parallélogramme de centre O. 2. Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z tels que : zz −5z −5z = 0. Justifier que lequadrilatère OAPB est inscrit dans Γ. 3. On suppose que le point M est distinct de O, A et P. Les points O, M et U sont donc distincts deux à deux. a. Démontrer que les points O, M et U sont alignés si et seulement si u u = . z z
Amérique du Sud

2

Novembre 2010

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

b. Démontrer que les points O, M et U sont alignés si et seulement si M appartient à Γ. 4.Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que OMU soit un triangle isocèle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère MU DT ? u 5. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que soit un imaz ginaire pur. En déduire la nature du quadrilatère MU DT dans le cas où M est un point de la droite (OP) privée de O et P. Prouver finalement qu’il existe une unique position du point Mtel que MU DT soit un carré.

Exercice 2
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose A(n) = n 4 + 1. L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers de A(n). 1. Quelques résultats a. Étudier la parité de l’entier A(n). b. Montrer que, quel que soit l’entier n, A(n) n’est pas un multiple de 3. c. Montrerque tout entier d diviseur de A(n) est premier avec n. d. Montrer que, pour tout entier d diviseur de A(n) : n8 ≡ 1 mod d .

2. Recherche de critères Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que n k ≡ 1 mod d . a. Soit k un tel entier. En utilisant la division euclidienne de k par s, montrer que s divise k. b. En déduire que s est un diviseur de 8.c. Montrer que si, de plus, d est premier, alors s est un diviseur de d −1. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. 3. Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier pair. Soit p un diviseur premier de A(n). En examinant successivement les cas s = 1, s = 2 puis s = 4, conclure que p est congru à 1 modulo 8. 4. Dans cette question toute trace de recherche, même...
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