Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2011

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie ]0 ; +∞[ par : f (x) = x ln x − 1. Partie A : Étude d’une fonction 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

5 points

b. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; +∞[. On note α cette solution. Déterminer un encadrement de α à la précision 10−2 . 4. Déterminer le signe de f (x) lorsque x appartient à ]0 ; +∞[. 1 5. Montrer que ln α = . α Partie B : Calcul d’une intégrale On donne en annexe la courbe C , représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. On considère l’intégrale suivante :
4

2. Soit f la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f (x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[.

I=

f (x) dx.

α

1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale
4

J= 3. Montrer l’égalité : I =

x ln x dx.

α

α2 α + + 16ln 2 − 8. 4 2 En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près. 5 points

E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité → → → − − − L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k . On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A(−1 ; 2 ; 1) , B(1 ; −6 ; −1) et C (2 ; 2 ; 2). 1.

a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.   1 → − 1  est un vecteur normal au plan (ABC). b. Montrer que le vecteur n −3 c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

2. Soit P le plan d’équation : x − y + z − 4 = 0.

a. Montrer que les plans (ABC) et P sont sécants.

b. Soit D la droite intersection des plans P et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite D. 3. On