Bac s exercice 4

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PA RT I E A

m 1. Manipuler une expression

Pour tout réel x, on a : f ( x ) = ln ( e x + 2e – x ) f ( x ) = ln [ e x ( 1 + 2e – 2x ) ] f ( x ) = lne x + ln ( 1 + 2e – 2x ) f ( x ) = x + ln ( 1 + 2e – 2x ).

Rappel : ln ( a × b ) = lna + lnb lne x = x

m 2. Calculer la limite de la fonction en + ∞ et démontrer qu’une droite donnée est asymptote à . Étudier enfin la position relative dedeux courbes

• Utilisons l’expression f ( x ) = ln ( e x + 2e – x ) . ⎧ lim e x = + ∞ ⎪x → + ∞ On a ⎨ ⎪ lim e – x = lim e X = 0 en posant X = – x . X → –∞ ⎩x → + ∞ Par somme, on en déduit que lim ( e x + 2e – x ) = + ∞ .
x → +∞

Or

X → +∞

lim

lnX = + ∞ d’où

x → +∞

lim ln ( e x + 2e – x ) = + ∞ .
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• D’après le résultat établi dans laquestion précédente, on a pour tout x : f ( x ) – x = x + ln ( 1 + 2e – 2x ) – x f ( x ) – x = ln ( 1 + 2e – 2x ) . On a lim e – 2x = lim
x → +∞ x → +∞ x → +∞ X → –∞

e X = 0 en posant X = – 2x d’où :

lim ( 1 + 2e – 2x ) = 1.
X→1

On en déduit que lim ln ( 1 + 2e – 2x ) = lim ln X = 0 c’est-à-dire :
x → +∞

lim

f (x) – x = 0.

La droite ( d ) d’équation y = x est donc asymptote à . •Pour tout x, les inégalités suivantes sont équivalentes : 2e – 2x > 0 1 + 2e – 2x > 1 ln ( 1 + 2e – 2x ) > ln1 car la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞[ f ( x ) – x > 0 car ln1 = 0 . Ainsi, la courbe est située au-dessus de la droite ( d ) sur R.
m 3. Calculer la limite de la fonction en – ∞ et démontrer qu’elle admet une asymptote

⎧ lim e x = 0 ⎪x → – ∞ • On a ⎨ ⎪ lim e – x= lim e X = + ∞ en posant X = – x . X → +∞ ⎩x → – ∞ Par somme, on en déduit que lim ( e x + 2e – x ) = + ∞ . Ainsi, lim ln ( e x + 2e – x ) = lim
x → –∞ x → –∞ X → +∞

ln X = + ∞ .

On a donc :

x → –∞

lim

f (x) = + ∞ .

• D’après le résultat admis de la question 1., on a pour tout x : f ( x ) – ( – x + ln2 ) = – x + ln ( 2 + e 2x ) + x – ln2 f ( x ) – ( – x + ln2 ) = ln ( 2 + e 2x) – ln2 2+e f ( x ) – ( – x + ln2 ) = ln ⎛ --------------- ⎞ ⎝ 2 ⎠
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2x

e f ( x ) – ( – x + ln2 ) = ln ⎛ 1 + ------⎞ . ⎝ 2⎠ On a lim e 2x = lim
x → –∞ X → –∞

2x

e X = 0 en posant X = 2x .

Ainsi,

e 2x lim ⎛ 1 + ------⎞ = 1 . 2⎠ x → –∞ ⎝

e 2x On en déduit que lim ln ⎛ 1 + ------⎞ = lim ln X = 0 . ⎝ 2 ⎠ X→1 x → –∞ Ainsi,
x → –∞

lim [ f ( x) – ( – x + ln2 ) ] = 0 .

La droite ( d ′ ) d’équation y = – x + ln2 est asymptote à .
m 4. Étudier les variations d’une fonction et en déterminer le minimum

• Les fonctions usuelles x e x et x e – x sont dérivables sur . x + 2e – x est donc dérivable sur . La fonction u : x e On remarque que e x + 2e – x > 0 . De plus, la fonction ln est dérivable sur ] 0 ; + ∞[ . On en déduit que f estdérivable sur comme composée de fonctions dérivables. Soit x ∈ . f ( x ) = ln ( e x + 2e – x ) f ( x ) = ln [ u ( x ) ] u′ ( x ) f ′ ( x ) = ----------u(x) e x – 2e – x f ′ ( x ) = --------------------- . e x + 2e – x • Pour tout X, on a e X > 0 . D’où e x + 2e – x > 0 . f ′ ( x ) a donc le signe de e x – 2e – x . Résolvons l’inéquation e x – 2e – x > 0. Par équivalences successives, on a : e x > 2e– x lne x > ln ( 2e – x ) car ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞[ x > ln2 + lne – x x > ln2 – x 2x > ln2 ln2 x > ------ . 2
www.annabac.com © H A T I E R 2009 Rappel : ln ( a × b ) = lna + lnb lne x = x

ln2 Ainsi, f ′ ( x ) > 0 si et seulement si x > ------ . 2 On en déduit que : ln2 • f est strictement croissante sur ------- ; + ∞ ; 2 ln2 • f est strictement décroissante sur – ∞ ;------- . 2 ln2 ln2 En x = ------ , f admet un minimum f ⎛ ------ ⎞ . ⎝ 2⎠ 2 On a :
------– ------ln2 f ⎛ ------ ⎞ = ln ⎛ e 2 + 2e 2 ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ln2 ln2

⎛ 1 ⎞ -ln2 2 f ⎛ ------ ⎞ = ln ⎜ 2 2 + ---- ⎟ 1⎟ ⎝ 2⎠ ⎜ -⎝ 2 2⎠ ⎛ ⎞ ln2 2+2 f ⎛ ------ ⎞ = ln ⎜ ----------- ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 -- ⎠ 2 ⎛ 2⎞ 2 ln2 f ⎛ ------ ⎞ = ln ⎜ ---- ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ 2⎠ -⎝ 2 2⎠
2 – -ln2 f ⎛ ------ ⎞ = ln ⎛ 2 2⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ -ln2 f ⎛...
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