PA RT I E A

m 1. Manipuler une expression

Pour tout réel x, on a : f ( x ) = ln ( e x + 2e – x ) f ( x ) = ln [ e x ( 1 + 2e – 2x ) ] f ( x ) = lne x + ln ( 1 + 2e – 2x ) f ( x ) = x + ln ( 1 + 2e – 2x ).

Rappel : ln ( a × b ) = lna + lnb lne x = x

m 2. Calculer la limite de la fonction en + ∞ et démontrer qu’une droite donnée est asymptote à . Étudier enfin la position relative de deux courbes

• Utilisons l’expression f ( x ) = ln ( e x + 2e – x ) . ⎧ lim e x = + ∞ ⎪x → + ∞ On a ⎨ ⎪ lim e – x = lim e X = 0 en posant X = – x . X → –∞ ⎩x → + ∞ Par somme, on en déduit que lim ( e x + 2e – x ) = + ∞ . x → +∞

Or

X → +∞

lim

lnX = + ∞ d’où

x → +∞

lim ln ( e x + 2e – x ) = + ∞ .
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• D’après le résultat établi dans la question précédente, on a pour tout x : f ( x ) – x = x + ln ( 1 + 2e – 2x ) – x f ( x ) – x = ln ( 1 + 2e – 2x ) . On a lim e – 2x = lim x → +∞ x → +∞ x → +∞ X → –∞

e X = 0 en posant X = – 2x d’où :

lim ( 1 + 2e – 2x ) = 1.
X→1

On en déduit que lim ln ( 1 + 2e – 2x ) = lim ln X = 0 c’est-à-dire : x → +∞

lim

f (x) – x = 0.

La droite ( d ) d’équation y = x est donc asymptote à . • Pour tout x, les inégalités suivantes sont équivalentes : 2e – 2x > 0 1 + 2e – 2x > 1 ln ( 1 + 2e – 2x ) > ln1 car la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞[ f ( x ) – x > 0 car ln1 = 0 . Ainsi, la courbe est située au-dessus de la droite ( d ) sur R. m 3. Calculer la limite de la fonction en – ∞ et démontrer qu’elle admet une asymptote

⎧ lim e x = 0 ⎪x → – ∞ • On a ⎨ ⎪ lim e – x = lim e X = + ∞ en posant X = – x . X → +∞ ⎩x → – ∞ Par somme, on en déduit que lim ( e x + 2e – x ) = + ∞ . Ainsi, lim ln ( e x + 2e – x ) = lim x → –∞ x → –∞ X → +∞

ln X = + ∞ .

On a donc :

x → –∞

lim

f (x) = + ∞ .

• D’après le résultat admis de la question 1., on a pour tout x : f ( x ) – ( – x + ln2 ) = – x + ln ( 2 + e 2x ) + x – ln2 f ( x ) – ( – x + ln2 ) = ln ( 2 + e 2x