EXERCICE 2 (5 points ) (Commun à tous les candidats) Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −2, b = 5i et c = 4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en annexe 2. π 1. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre A et d’angle . En déduire que le point J 2 a pour affixe −7 + 2i. On admettra que l’affixe du point K est −2 − 6i. 2. Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur. 3. a. Calculer les affixes des points S et T . b. Déterminer l’affixe du point U. c. Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle ST U. − − → → 4. Déterminer une mesure de l’angle JC, AU . 5. On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d’affixe v = −0, 752 + 0, 864i. a. Établir que les points A, V et U sont alignés. b. Que représente la droite (AU) pour l’angle BV C ?

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Annexe 2, exercice 2 Commun à tous les candidats N

I

B U S M

J

A

C

T

K

L

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EXERCICE 2 1) L’expression complexe de r est z = a + eiπ/2 (z − a) = −2 + i(z + 2) = iz − 2 + 2i. Donc, puisque J = r(B), en notant j l’affixe du point J, on a j = i(5i) − 2 + 2i = −5 − 2 + 2i = −7 + 2i. L’affixe du point J est −7 + 2i. − → 2) Le point B a pour coordonnées (0, 5) et le point K a pour coordonnées (−2, −6). Donc le vecteur BK a pour coordonnées (−2, −11). − → De même, le point J a pour coordonnées (−7, 2) et le point C a pour coordonnées (4, 0). Donc le vecteur JC a pour coordonnées (11, −2). Par suite, − → − → et donc les vecteurs BK et JC sont orthogonaux ou encore les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires. √ √ √ √ √ − → − → BK = BK = (−2)2 + (−11)2 = 125 = 5 5 et JC = JC = 112 + (−2)2 = 125 = 5 5. Donc BK = JC = 5 5. 3) a) S est le milieu du segment [BJ] et donc s= b+j 5i − 7 + 2i 7 7 = = − + i. 2 2 2 2 − − →→ BK.JC = (−2) × 11 + (−11) × (−2) = 0,

De même,