EXERCICE 2 (4 points ) (Commun à tous les candidats) − → Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; →, − ). u v On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions. On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives a = −1 + 2i ; b = −2 − i ; c = −3 + i.

1. Placer les points A, B et C sur le graphique. b 2. Calculer . En déduire la nature du triangle OAB. a 3. On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z avec z = b, associe le point M d’affixe z définie par z = z + 1 − 2i . z+2+i

a. Calculer l’affixe c du point C , image de C par f et placer le point C sur la figure. b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z avec z = b, tels que |z | = 1. c. Justifier que E contient les points O et C. Tracer E . 4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation. π On appelle J l’image du point A par la rotation r de centre O et d’angle − . 2 π On appelle K l’image du point C par la rotation r de centre O et d’angle . 2 On note L le milieu de [JK]. Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.

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EXERCICE 2 1) Graphique A

2

C

1

C

J

−3

−2

−1

O

1

2

B

E −1

−2

K

−3

2)

b −2 − i i(−1 + 2i) = = = i. On en déduit que a −1 + 2i −1 + 2i OB |b| b = = = |i| = 1 et donc OA = OB. OA |a| a − − − → → π b = arg(i) = [2π]. • OA, OB = arg a 2 •

Par suite, le triangle OAB est rectangle isocèle direct en O. 3) a) c = −3 + i + 1 − 2i −2 − i (−2 − i)(−1 − 2i) 2 + 4i + i − 2 = i. = = = −3 + i + 2 + i −1 + 2i (−1 + 2i)(−1 − 2i) (−1)2 + 22

Le point C = f(C) a donc pour coordonnées (0, 1). b) Soit M un point du plan distincts de B d’affixe z. |z | = 1 ⇔ |z + 1 − 2i| = 1 ⇔ |z − (−1 + 2i)| = |z − (−2 − i)| (et z = −2 − i) |z + 2 + i| ⇔ AM = BM (et M = B) ⇔ AM = BM (car si M = B,