EXERCICE 4 (5 points ) (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) − − − → → → L’espace muni d’un repère orthonormal O ; i ; j ; k . 1 1 et P le plan d’équation z = − . 4 4 On note d(M ; P ) la distance d’un point M au plan P . Montrer que l’ensemble (S) des points M(x ; y ; z) qui vérifient d(M ; P ) = MF a pour équation x2 + y 2 = z. 1. Soit F le point de coordonnées 0 ; 0 ; 2. a. Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation z = 2 ? b. Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation x = 0 ? − − → → Représenter cette intersection dans le repère O ; j ; k . 3. Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels. a. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de x2 par 7 ? b. Démontrer que 7 divise x2 + y 2 si, et seulement si, 7 divise x et 7 divise y. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Existe-t-il des points qui appartiennent à l’intersection de l’ensemble (S) et du plan d’équation z = 98 et dont les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui, les déterminer.

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EXERCICE 4

1 z+ 1 4 = 1) Soit M(x, y, z) un point de l’espace. La distance du point M au plan P d’équation z + = 0 est √ 2 + 02 + 12 4 0 2 1 1 z+ . Donc et la distance de M au point F est x2 + y2 + z − 4 4 1 1 = x2 + y2 + z − 4 4 1 1 ⇔ z2 + z + = x2 + y2 + z2 − 2 16
2

d(M, P) = MF ⇔ z +

2) a) La surface (S) est une surface de révolution d’axe (Oz) et le plan d’équation z = 2 est perpendiculaire à (Oz). Donc, l’intersection de (S) avec le plan d’équation z = 2 est un cercle. b) Un point M(x, y, z) est dans l’intersection de (S) avec le plan d’équation x = 0 si et seulement si intersection est donc une parabole. z 6 5 4 3 2 1 y −3 −2 −1 −1 1 2 3 x=0 . Cette z = y2

1 1 z+ ⇔ z = x2 + y2 . 2 16

⇔

z+

1 4

2

= x2 + y2 + z −

1 4

2

x 3) a) Soit x