Barycentre

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Calcul Barycentrique
Z, auctore

31 octobre 2005

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Introduction

Deux masses, l’une de 3 kg et l’autre de 7kg, sont fix´es aux extr´mit´s e e e d’une barre comme repr´sent´ ci-dessous. e e

A
3 kg

G

B
7 kg

Le point d’´quilibre G de cette barre est le point o` s’´quilibrent les forces e u e exerc´es par ces masses ; celui-ci doit ˆtre tel que e e − → − − → 3 GA = −7 GBC’est-`-dire a − → − − → 3 GA + 7 GB = 0 − → AG = − → AB.

ce qui se traduit (apr`s calculs) par e
7 10

Cette ´galit´ d´termine parfaitement la position d’´quilibre de la barre. e e e e

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D´finitions e

Soient (A ; a) et (B ; b) deux points points pond´r´s - c’est-`-dire affect´s e e a e d’un coefficient : a est le coefficient de A, b est celui de B.Th´or`me 1 Si a + b = 0, alors il existe un unique point G tel que e e − → − − → a GA + b GB = 0. D´finition 1 Lorsqu’il existe, ce point G unique est appel´ barycentre du e e syst`me de points pond´r´s (A ; a) et (B ; b). e e e Remarque. Lorsque a + b = 0, il n’est pas possible de d´finir le barycentre e de (A ; a) et (B ; b). On retiendra, lorsque a + b = 0 − → − − → G = bary{(A ; a) ; (B ; b)} ⇔ a GA +b GB = 0 Le th´or`me et la d´finition s’´tendent au cas d’un syst`me de trois points e e e e e pond´r´s (A ; a), (B ; b) et (C ; c), lorsque a + b + c = 0. Dans ce cas, on a ee l’existence et l’unicit´ du point G tel que e − → − − → − → a GA + b GB + c GC = 0. De la mˆme mani`re, si a + b + · · · + n = 0, alors il existe un et un seul point e e G tel que − → − − → −→ − a GA + b GB + · · · + n GN =0.

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Propri´t´s e e

Propri´t´ 1 (Position) Pour a + b = 0, G est le barycentre de (A ; a) et e e (B ; b), si, et seulement si − → AG = De mˆme, on a e − − → BG =
a a+b b a+b

− → AB

− → BA.

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Le barycentre de deux points A et B est donc align´ avec ceux-ci ; inversee ment, tout point situ´ sur la droite (AB) peut ˆtre vu comme un barycentree e de A et B. Lorsque l’on a a > 0 et b > 0 alors G est situ´ sur le segment e [AB] (priv´ de ses extr´mit´s). e e e La propri´t´ 1 s’´tend au cas d’un nombre fini quelconque de points pond´e e e e r´s dont la somme des coefficients est non-nulle. Dans le cas de trois points, e si a + b + c = 0, alors − → − → − → b c G = bary{(A ; a) ; (B ; b) (C ; c)} ⇔ AG = a+b+c AB + a+b+c AC. Tout barycentre detrois points (non-align´s) est situ´ dans le plan d´fini par e e e ceux-ci. La r´ciproque est vraie. Lorsque l’on a a > 0, b > 0 et c > 0, alors e G est ` l’int´rieur du triangle ABC. a e La propri´t´ 1 d´coule de la relation de Chasles, appliqu´e dans la d´finition e e e e e du barycentre. C’est cette propri´t´ qui permet de construire le barycentre de deux ou trois ee points. Propri´t´ 2(Condensation, r´duction) Pour a + b = 0, G est le barye e e centre de (A ; a) et (B ; b), si, et seulement si, pour tout point P , on a − → − − → − → a P A + b P B = (a + b) P G Cette propri´t´ s’´tend ` plusieurs points : si a + b + c = 0, le barycentre G ee e a de {(A ; a) ; (B ; b) (C ; c)} est caract´ris´ par le fait que, pour tout P e e − → − − → − → − → a P A + b P B + c P C = (a + b + c) P G Lapropri´t´ 2 est une cons´quence de la relation de Chasles. e e e Cette propri´t´ permet de r´duire certaines sommes vectorielles (voir l’ exempleee e type en fin d’article). Propri´t´ 3 (Lin´arit´) Soit G le barycentre de (A ; a) et (B ; b), avec e e e e a + b = 0. Alors pour tout k = 0, G est aussi le barycentre de (A ; a × k) et (B ; b × k), ou mˆme de (A ; a ÷ k) et (B ; b ÷ k). e Cela signifie quel’on peut multiplier tous les coefficients (ou les diviser) par un mˆme nombre non-nul sans changer le barycentre. e Cette propri´t´ s’´tend ` un nombre fini quelconque de points. ee e a Propri´t´ 4 (Associativit´) Soit G le barycentre de (A ; a), (B ; b) et (C ; c), e e e avec a + b + c = 0. Si a + b = 0, alors le barycentre H de (A ; a) et (B ; b) existe et dans ce cas, G est encore le...
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