Barycentre

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  • Publié le : 12 décembre 2010
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Barycentre

I. Rappels
1) Vecteurs du plan
Les points A et B étant distincts, le vecteur [pic] est caractérisé par :
- sa direction ( celle de la droite (AB))
- son sens ( de A vers B )
- sa longueur ou sa norme (AB ou [pic])
Vecteurs égaux
[pic] = [pic] signifie que les vecteurs [pic] et [pic] ont même direction, même sens et même norme, ou encore quele quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

Si A et B sont confondus, [pic] est le vecteur nul noté [pic]. Sa norme est 0.
Pour tout vecteur [pic] et tout point O, il existe un unique point M tel que [pic] = [pic]

2) Addition vectorielle
a) Relation de Chasles
|[pic] |Quels que soient les points A, B et C, |[pic]|
| |on a : | |
| |[pic] + [pic] = [pic] | |

|Règle du parallélogramme
|[pic] |Les points A, B et C étant donnés, [pic] + [pic]|[pic]|
| |= [pic] | |
| |[pic] | |
| |ABDC est un parallélogramme. ||

|
3) Produit d’un vecteur par un réel
[pic] un vecteur et k un réel. Le produit du vecteur [pic] par le réel k, est le vecteur noté k [pic] tel que :
- si k = 0 ou [pic] = [pic], k [pic] = [pic]
- dans les autres cas, k [pic] est
- de même direction que [pic]
- de même sens que [pic]si k > 0 et de sens contraire si k < 0.
- Denorme égale à [pic].

Pour tous vecteurs [pic] et [pic], et pour tous réel k et k’, on a :
k ([pic] + [pic] ) = k [pic] + k [pic]
(k + k’ ) [pic] = k [pic] + k’ [pic]
k ( k’ [pic] ) = (kk’) [pic] = kk’ [pic]

4) Vecteurs colinéaires
Dire que deux vecteurs [pic] et [pic] non nuls sont colinéaires signifie qu’il existe un réel k non nul, tel que [pic] = k[pic].

Remarques :
- deux vecteurs colinéaires ont la même direction.
- [pic] = 0 [pic] : par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

5) Repère et coordonnées
Dire que le point M a pour coordonnées (x ; y) dans le repère (O, [pic][pic])
équivaut à dire que [pic] = x [pic] + y [pic].
On note : M ( x ; y), x est l’abscisse, y est l’ordonnée.Dire que le vecteur [pic] a pour coordonnées ( x ; y) dans le repère (O, [pic][pic])
signifie que [pic] = x [pic] + y [pic].On note : [pic][pic]

Soient [pic][pic] et [pic][pic] des vecteurs
[pic] = [pic][pic][pic]
Le vecteur [pic] + [pic] a pour coordonnées [pic]
Le vecteur k[pic] a pour coordonnées [pic]
Les vecteurs [pic] et [pic] sontcolinéaires si et seulement si xy’ – x’y = 0.

Si A et B sont deux points de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) alors :
[pic][pic] [pic]= [pic]

II. Barycentre de deux points
1) Définition
Soient A et B deux points et a et b deux réels dont la somme n’est pas nulle.
Alors il existe un unique point G du plan tel que a [pic] + b [pic] = [pic].
Cepoint G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.
On dit que G est le barycentre du système de points (A ; a) et (B ; b).

Dem :
a [pic] + b [pic] = a [pic] + b([pic]+[pic]) = (a+b) [pic] + b [pic]
a [pic] + b [pic] = [pic] équivaut à (a+b) [pic][pic] = b [pic]
comme a + b n’est pas nul, on a [pic] = [pic][pic], ce qui montre...
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