Barycentre

I- Barycentre de deux points massifs

Si a + b [pic] 0 G est défini par a _GA + b_GB =»£0

1) La relation fondamentale :

Pour tout M:

(a + b) _MG = a _MA + b _MB

M=A

[pic] (a + b) _AG = b _AB
[pic] _AG = [pic] _AB

On en déduit que _AG et _AB sont colinéaires et G appartient à la droite (AB).

Propriété : le barycentre de deux points massifs appartient à la droite joignant ces points.

2) Isobarycentre de deux points massifs

_GA + _GB =ȣ0

G = m [AB]

L’isobarycentre de deux points est le milieu du segment qui les joint.

Si a et b sont de même signe, G appartient au segment [AB]

En effet : _AG = [pic] _AB
Supposons a et b de même signe.

Alors 0 [pic] [pic] [pic] 1 ; on en déduit : AG [pic] AB

Le point G appartient donc au segment [AB]

II- Barycentre de trois points massifs

1) Définition : un point massif est un couple (M; k) constitué d’un point M et d’un réel k. On dit aussi point pondéré ou affecté d’un coefficient.

2) Théorème et définition :

Soient: {(A; a) (B; b) (C; c)}
Un système de trois points massifs tel que la somme a + b + c soit non nulle:

Il existe alors un point G et un seul tel que :

a _GA + b _GB + c _GC = ȣ0

G est appelé le barycentre du système {(A; a) (B; b) (C; c)}

3) Démonstration:

a _GA+ b _GB + c _GC= ȣ0

[pic] a _GA + b (_GA + _AB ) + c (_GA + _AC) = ȣ0

[pic] (a + b + c) _AG = b _AB + c(_AC)

[pic]_AG= [pic] _AC + [pic] _AC

4) Conclusion :
_AG existe et est unique et par conséquent le point G existe et est unique

Première propriété

Le barycentre est inchangé si on multiplie (ou divise) tous les coefficients par le même réel k non nul.

a _GA + b _GB + c _GC = ȣ0
[pic] (k.a) _GA + (k.b) _GB + (k.c) _GC = ȣ0

Relation fondamentale

G est barycentre de { (A ; a ) ( B; b) ( C; c ) } si et seulement si pour tout M du plan

( a + b+ c ) _MG = a _MA + b _MB + c _MC

Ou encore _MG = [pic] (a _MA + b _MB + c _MC)