Exercices : utilisation des barycentres

Exercice 1 ABC est un triangle quelconque. D est le point tel que AD =
2 AC . 3

A’ est le symétrique de A par rapport à B. (A’D) et (BC) se coupent en O. A l’aide de barycentres bien choisis, démontrer que O est le milieu de [BC] et préciser la position de O sur (A’D).

Exercice 2
Soit ABCD un rectangle (AB = 6 cm ; BC = 4 cm). Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que : → → → → → → 3MA – 2MB + 2 MC = MB + MC + MD  Construire E.

Exercice 3
ABC est un triangle quelconque. A’, B’ et C’ sont les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. 1 P est le point tel que AP = AB . 3 Démontrer que (AA’), (B’C’) et (PC) sont concourantes.

Exercice 4
ABCD est un parallélogramme tel que AB=3 et AD=2 On construit les points E, F ,G tels que : → → → → → → DE = 2 DB , CF = 5 CA et BG = 3 AB . H est le point d’intersection des droites (BF) et (CG). Préciser la position de H sur (CG).

Correction Exercice 1
C 2 D 3 O 4

AD = 2 AC 3 → → → 3 AD – 2 AC = 0 → → → → 3 AD – 2 AD –→ DC = 0 2 → → DA + 2 DC = 0 D est le barycentre du système {(A,1) ; (C,2)}. A’ = sB (A) B est le milieu de [AA’]. B est le barycentre du système {(A,1) ; (A’,1)}.

→

→

A 1

B 2

A' 1

Soit O’ le barycentre du système {(A’,1) ; (D,3)}. (1) O’ ∈ (A’D) De plus, D est le barycentre du système {(A,1) ; (C,2)}. Donc, O’ est le barycentre du système {(A’,1) ; (A,1) ; (C,2)}. O’ le barycentre du système {(B,2) ; (C,2)}. (2) Donc, O’ ∈ (BC) Finalement, O’ = O On peut déduire de (2) que O est le milieu de [BC]. D’après (1), on a : → → → ∀ M ∈ P, MA’ + 3 MD = 4 MO → → Pour M= A’, A’O = 3 A’D 4

Exercice 2 3–2+2≠0 Soit G1 le barycentre du système {(A,3) ; (B,– 2) ; (C,2)}. 1+1+1≠0 Soit G2 l’isobarycentre de B, C et D. → → → → → → → → 3MA – 2MB + 2 MC = MB + MC + MD  ⇔ 3 MG1 = 3 MG2 ⇔ 3MG1 = 3MG2 ⇔ MG1 = MG2 ⇔ M appartient à la médiatrice de