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Angles orientés Trigonométrie

I. Préliminaires
1. Le radian
Définition
B R

AB =R
A

1 radian
O R

C

Soit C un cercle de centre O. Dire que l’angle géométrique AOB a pour mesure 1 radian signifie que la longueur du petit arc AB est égal au rayon R du cercle.

De même, la longueur d’un arc de cercle de rayon R et dont l’angle au centre a pour mesure α radians est α R .
B

RAB = α R

α radians
A O R

C

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Correspondance entre mesures en degré et en radian Degré Radian 0 0 30 45 60 90 180
x

π
6

π
4

π
3

π
2

π

α

Pour convertir les 2 unités de mesure d’angle, on utilise la formule 180α = π x , soit α =
avec α mesure en radian et x mesure en degré.

π180

x

2. Orientations d’un cercle

Sens direct

Sens indirect

3. Cercle trigonométrique
Un cercle trigonométrique est de rayon 1 et est orienté positivement dans le sens direct.

+

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II. Angles orientés
1. Angle orienté de deux vecteurs unitaires
Soient u et v deux vecteurs unitaires. Le couple u, v de ces 2 vecteurs définit un angle orienté. On a u = 1 et v = 1

( )

B

v
A

v u u

A ce couple de vecteurs, nous pouvons associer un arc orienté AB .

2. Angle orienté de deux vecteurs non nuls
Soient u1 et v1 deux vecteurs non nuls. On note u le vecteur unitaire colinéaire à u1 et de même sens que u1 et on note v le vecteur unitaire colinéaire à v1 et de même sens que v1 .L’angle u1 , v1 est par définition égal à l’angle u , v .

(

)

( )

3. Mesure principale en radian d’un angle orienté
Soient u et v deux vecteurs unitaires. Soient M et P les points du cercle trigonométrique de centre O tels que OM = u et OP = v . On note a la mesure en radian de l’angle MOP . La mesure principale de l’angle orienté des vecteurs u , v est le réel α appartenant à l’intervalle]−π ; +π ] tel que α = a et dont le signe est défini de la manière suivante :

( )

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P

v

α =a
M

u

α =π
M P M

u v

α = −a
P

v

u

Si le sens de M vers P sur le petit arc MP est le sens direct, alors α = a

Si le sens de M vers P sur le petit arc MP est le sens indirect, alors α = −aSi l’angle MOP est plat, alors α = π

Exemple :
ABC est un triangle équilatéral direct
C

( AB; AC ) =

π
3

( BA; BC ) = − (CA; CB ) =
A B

π
3

π
3

Si les vecteurs ne sont pas unitaires : La mesure principale d’un angle orienté de deux vecteurs non nuls u1 et v1 est la mesure principale de l’angle orienté u , v avec u et v qui

( )

sont les vecteurs unitairescolinéaires respectivement à u1 et v1 et de même sens que ces vecteurs.

( u , v ) = ( u, v )
1 1

u

u1

v v1

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4. Mesures principales d’angles sur le cercle trigonométrique
π
2π 3 3π 4 5π 6 2

π
3

π
4

π
6

π

0

5π − 6

7π 6 5π 4 2π 3 − 4π 3 5π 3 − 7π 4 −

11π 6



π
6



3π 4π
4



3π 2

π
3

π
2

En rouge : mesure principale En vert : la plus petite mesure positive

Remarque importante :
Si θ est une mesure (en radians) d’un angle de vecteurs u , v , toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme :

( )

θ + k .2π avec k ∈ ℤ

Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l’intervalle ]−π ; π ] , c’est la mesure principale.
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Explication : 2π représente une rotation complète sur le cercle, si on rajoute 2π à une mesure d’angle, on retrouve donc la même mesure.

Exemples :
Donner toutes les mesures des angles dont la mesure principale est α , puis donner la plus petite mesure positive :

α =−

5π 6

Toutes les mesures de cet angle...
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