Corrigés 1 20 janvier 2010 Réponses exercice 1 : centre de gravité de DEF = barycentre de (D; 6)(E; 6)(F; 6) = barycentre de (A; 1)(B; 2)(C; 3)(A; 2)(B; 3)(C; 1)(A; 3)(B; 1)(C; 2) = barycentre de (A; 6)(B; 6)(C; 6) = centre de gravité de ABC. Réponses exercice 2 : ! ! ! a) Pour tout point M , 2M A + 3M B = 5M C. ! On cherche l’ ensemble des points M tels que 5M C = 10, M C = 2: Il s’ agit donc du cercle de centre C et de rayon 2. ! ! ! ! ! ! b) Pour tout point M , 2M A + 3M B = 5M C et 3M A + 2M B = 5M D. On cherche l’ ensemble des points M tels que 5M C = 5M D, M C = M D. Il s’ agit donc de la médiatrice de [CD]. Réponses exercice 3 : a) Soit G le barycentre de (A; 1)(B; 1)(C; 2). ! ! ! ! Pour tout point M , M A + M B + 2M C = 4M G. ! ! On cherche l’ ensemble des points M tels que 4M G soit colinéaire à BC. Il s’ agit donc de la droite parallèle à (BC) et passant par G. ! ! ! b) Dans la somme M A + M B 2M C, la somme des coe¢ cients est nulle. Il s’ agit donc en fait d’ une somme constante (indépendante de M ). ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! En e¤et, M A + M B 2M C = M A + M A + AB 2M A 2AC = AB 2AC: ! ! ! On cherche l’ ensemble des points M tels que 4M G = AB 2AC , ! 1 ! AB 2AC MG = 4 ! 1 ! Il s’ agit donc du cercle de centre G et de rayon AB 2AC : 4 Réponses exercice 4 : I milieu de [AG] , I barycentre de (A; 3)(G; 3) , I barycentre de (A; 3)(D; 1)(C; 1)(B; 1) (on remplace (G; 3) par (D; 1)(C; 1)(B; 1)) , I barycentre de (K; 4)(J; 2) (on remplace (A; 3)(D; 1) par (K; 4) et (C; 1)(B; 1) par (J; 2)) Cela prouve que les points I, J et K sont alignés. Réponses exercice 5 : a) On sait déja que les droites (AC) et (BD) se coupent en O. Par ailleurs, le milieu de [GH] = barycentre de (G; 3)(H; 3) = barycentre de (A; 2)(B; 1)(C; 2)(D; 1) (on remplace (G; 3) par (A; 2)(B; 1) et (H; 3) par (C; 2)(D; 1))= barycentre de (O; 4)(O; 2) (on remplace (A; 2)(C; 2) par (O; 4) et (B; 1)(D; 1) par (O; 2)) = O. Donc O est aussi sur (GH). Les droites (AC), (BD) et (GH) sont concourantes en O.
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