PHEC1
Symboles de sommation Exercice 1 Ecrire sans le symbole les expressions ci-dessous : 2n+4 5 8 j2 5 2n n 5 n 2x (−1)n i x(1 − x2 )p k2 j 3 n=1 n n + i p=3 i=n i=1 j=3 k=1 Exercice 2 Ecrire les sommes suivantes avec le symbole 1) 25 + 35 + 45 + .. + n5 2) 1 − a + a2 − a3 + ... + (−1)n an 3) a2 a4 a6 a2n + + + ... + 2 4 6 2n 4) 1 2 3 n − + − .. + (−1)n+1 2 3 4 n+1 1 2 22 23 22003 6) + + + + .. + 1! 2! 3! 4! 2004!

feuille d’exercices 4 www.mathematiques.fr.st 2003-2004

Exercice 7 Calculer les sommes suivantes : An = 1 + 22 + 24 + 28 + · · · + 22n Cn = 2.32 + 2.33 + 2.34 + · · · + 2.3n Exercice 8 Soit u la suite d´finie par u0 = 3 et ∀n e

Bn = 1 − 3 + 32 − 33 + · · · + (−)n 3n Dn = −72 + 73 − 74 + · · · + 72003 − 72004

0, un+1 = 2un − 4.

1. D´terminer le r´el β tel que la suite v d´finie par vn = un −β soit g´om´trique. e e e e e 2. En d´duire l’expression de vn en fonction de n, puis celle de un . e 3. Calculer u0 + u1 + · · · + un . Exercice 9 Soit u la suite d´finie par u0 = 2 et ∀n e 0, un − 2un+1 = 2n + 3.

5) ln(1 × 2 × 3 × .. × n). Exercice 3 Calculer les sommes suivantes : n 1. Montrer vn = un + 2n − 1 est le terme g´n´ral d’une suite g´om´trique. e e e e 2. En d´duire l’expression de un en fonction de n. e n An = k=0 (5k + 2)

Bn =

2j j+1 j=0 3 n n

Cn = p=2 1 3

p

N

DN = n=1 2n + 32n

3. Calculer Sn = k=0 vk en fonction de n.

Principe de r´currence e Exercice 4 Montrer par r´currence les ´galit´s suivantes : e e e n n−1 n(n + 1) 1) ∀n 0, k= 2) ∀n 1, (2k + 1) = n2 2 k=0 k=0 n n 1 − an+1 3) ∀n 0, ak = . 4) ∀n 0, (ak+1 − ak ) = an+1 − a0 1−a k=0 k=0 5) ∀n 0, ln xn = n ln x 5) ∀n 0, enx = (ex )n Exercice 5 On consid`re une suite u telle que ∀n 0, un+1 e Montrer par r´currence que ∀n 0, un an u0 . e aun o` a est un r´el positif. u e

Exercice 10 Soient u et v les deux suites d´finies pour tout n e 1 1 un+1 = (2un + vn ) et vn+1 = (un + 2vn ). 3 3 1. On pose tn = un − vn et sn = un + vn .

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