Relation binaire

Pascal Lainé

RELATION BINAIRE
Exercice 1 : { Soit

la relation binaire sur dont le graphe est {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} 1. Vérifier que la relation est une relation d’équivalence. 2. Faire la liste des classes d’équivalences distinctes et donner l’ensemble quotient Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : 1. Montrer que la relation de congruence modulo [ ] Est une relation d’équivalence sur . 2. En vous servant de la division euclidienne, montrer qu’il y a exactement distinctes. Allez à : Correction exercice 2 : Exercice 3 : Sur , on considère la relation

} et

.

classes d’équivalentes

définie par ( ) ( ) 1. Montrer que est une relation d’équivalence. 2. Décrire la classe d’équivalence ( ̇ ) du couple ( ). 3. On désigne par l’ensemble quotient pour cette relation. Montrer que l’application [ [ ( ̇ ) Est bien définie et que c’est une bijection. Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Soient et deux ensembles et ( ) ,

une application. On définit une relation ( ) ( )

sur

en posant, pour tout

1. Montrer que est une relation d’équivalence. 2. Décrire la classe ̇ de l’élément . 3. Pourquoi l’application ̇ ( ) Est-elle bien définie ? Montrer qu’elle est injective. Que peut-on conclure sur l’ensemble quotient Allez à : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Soit un ensemble et soit posant, pour tout couple (

?

une partie de . On définit dans ) de parties de :

( ) la relation d’équivalence

en

1. Expliciter les classes ̇ , ̇ , ̇ et ̇ . 2. Montrer que si , alors est l’unique représentant de ̇ contenu dans . 3. Expliciter une bijection entre ( ) et ( ). 1

Relation binaire

Pascal Lainé

Remarque : ne pas hésiter, si nécessaire, à expliciter les classes pour un cas particulier, par exemple { } et { }. Allez à : Correction exercice 5 : Exercice 6 : Soit l’ensemble des nombres premiers strictement supérieurs à . On considère la relation deux éléments de définie par :

entre

La relation