Black and scholes

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Le modèle de Black–Scholes
Philippe Briand, Mars 2003

1. Présentation du modèle
Les mathématiciens ont depuis longtemps essayé de résoudre les questions soulevées par le monde de la finance. Une des caractéristiques de ces questions – il suffit de penser à la bourse pour s’en convaincre – est qu’elles font apparaître des dynamiques d’apparence désordonnées et c’est pourquoi les modèlesprobabilistes semblent relativement bien adaptés à cette situation. En 1901, la thèse de Louis Bachelier, Théorie de la spéculation, portait déjà sur ce thème. Depuis de nombreux probabilistes se sont penchés sur ces questions rafinant sans cesse les modèles utilisés. Je vous renvoie par exemple à [DJP98, LL97, Kar97, KS98, MR97]. Mais c’est sans nul doute grace aux travaux de Black, Merton et Scholes queces questions sont devenues si populaires en partie à cause de la simplicité des réponses qu’ils ont apportées. En 1973, Black et Scholes ont proposé une formule, qui porte aujourd’hui leurs noms, pour le prix d’une option européenne d’achat. Cette formule est très utilisée en pratique à tel point que la volatilité implicite qu’elle définit est devenue une véritable unité de mesure. Le modèlemathématique qui décrit le marché financier est à la fois simple et efficace. Finissons cette courte introduction en mentionnant que Merton et Scholes (Black était décédé) ont obtenu le prix Nobel d’économie pour leurs travaux en finance. De quoi s’agit-il ? Le modèle de Black–Scholes est, à l’origine, un modèle à deux actifs : l’un risqué, l’autre pas. Typiquement, l’actif risqué est une action (l’actionsous-jacente à l’option) tandis que l’actif non risqué s’apparente à une obligation. À l’instant t, le prix de l’obligation est Rt et le prix de l’action est St . L’évolution de l’obligation est relativement simple puisque l’on suppose que dRt = rt Rt dt, soit Rt = R0 e
Rt
0

rs ds

,

où rt ≥ 0 représente le taux d’intérêt instantanné. Nous supposerons toujours que R0 = 1. Le prix del’action, {St }t≥0 , est régi par l’équation différentielle stochastique (EDS en abrégé) dSt = St (µt dt + σt dWt ), S0 > 0 donné, où µt est un paramètre réel, et σt ≥ 0 ; le paramètre σ s’appelle la volatilité. Bien évidemment {Wt }t≥0 est un mouvement Brownien standard et nous notons {Ft }t≥0 sa filtration naturelle augmentée. En ce qui concerne les hypothèses, nous supposerons dans la suite que lesprocessus r, µ et σ sont progressivement mesurables et que, pour tout T > 0, P − p.s.,
T 0 2 rt + |µt | + σt dt < +∞.

En outre, nous supposons également le processus σ borné. On obtient facilement à l’aide de la formule d’Itô, St = S0 exp
0 t

σs dWs −

1 2 1

t 0

2 σs ds) exp

t

µs ds .
0

Dans le modèle de Black–Scholes originel, les paramètres r, µ et σ sont des constantes.On a dans ce cas σ2 Rt = ert , St = S0 eσWt − 2 t eµt . Considérons un agent qui investit dans ce marché. Désignons par φt et ψt les nombres respectifs d’obligations et d’actions détenues par l’agent à l’instant t. La valeur du portefeuille de cet investisseur est Vt = φt Rt + ψt St . On suppose que le processus (φ, ψ) est progressivement mesurable. Le fait que (φt , ψt ) soit adapté signifie quel’agent, pour déterminer la stratégie qu’il va adopter, n’anticipe pas sur le futur : il ne dispose que de l’information jusqu’à l’instant t qui est véhiculée par Ft ; cela proscrit en particulier les délits d’initiés. Signalons d’autre part que dans ce modèle φt et ψt sont des réels ; lorsqu’ils sont négatifs, l’agent contracte une dette libéllée dans l’actif correspondant. Un tel couple de processuss’appelle une stratégie de financement. En fait, nous ne considèrerons que des stratégies auto-financées c’est à dire pour lesquelles nous avons : dVt = φt dRt + ψt dSt . La signification de l’auto-financement est la suivante : à l’instant t = 0, l’agent investit la somme V0 dans le marché puis au cours du temps, il fait évoluer la répartition des titres dans son portefeuille. Il n’y a ni...
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