Limites de suites et de fonctions
Limites de suites
Soit u une suite réelle. • Soit ℓ un réel. La suite u a pour limite ℓ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. • La suite u a pour limite +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. • La suite u a pour limite −∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ] − ∞, A[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Quand la suite u a une limite réelle, on dit que la suite u converge. Dans le cas contraire, on dit que la suite u diverge. Théorème des gendarmes. Si u, v et w sont trois suites réelles telles que, pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang, un vn wn et si les suites u et w convergent vers une limite réelle commune ℓ, alors la suite v converge et lim vn = ℓ. n→+∞ Théorème. Toute suite réelle croissante et majorée converge. Toute suite réelle décroissante et minorée converge. Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +∞. Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers −∞. Théorème. Soient u et v deux suites telles que, pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang, un vn . Si lim un = +∞, alors lim vn = +∞. Si lim vn = −∞, alors lim un = −∞. n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞

Suites adjacentes. Soient u et v deux suites réelles. u et v sont deux suites adjacentes si et seulement si l’une des deux croît, l’autre décroît et leur différence tend vers 0. Théorème. Deux suites adjacentes convergent et ont mêmes limites.

Limites de fonctions
Soient f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]A, +∞[ et ℓ un réel. • On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand. • On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A,