SESSION 2010

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

PARTIE I
A) 8−λ 4 −7 8−λ 4 −8 −4 − λ 8 = (1 − λ) = (1 − λ)(λ2 − 4λ) = −λ(λ − 1)(λ − 4). Par suite, f admet −8 −4 − λ 0 0 1−λ trois valeurs propres simples à savoir 0, 1 et 4 et on sait que f est diagonalisable. 1) χf = 2) Soit v = (x, y, z)  R3 . ∈  8x + 4y − 7z = 0 −8x − 4y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E0 = Ker(f) ⇔  z=0

z=0 . Donc E0 = Vect(v1 ) où v1 = (1, −2, 0). y = −2x   x − z = −4y  7x + 4y − 7z = 0 y=0 7 • v ∈ E1 = Ker(f − Id) ⇔ ⇔ ⇔ . Donc E1 = Vect(v2 ) où v2 = (1, 0, 1). −8x − 5y + 8z = 0 x=z   x − z = −5y 8   4x + 4y − 7z = 0 z=0 −8x − 8y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E4 = Ker(f − 4Id) ⇔ . Donc E4 = Vect(v3 ) où v3 = (1, −1, 0). y = −x  z=0 Dans la base B = (v1 , v2 , v3 ), la matrice de f est D = diag(0, 1, 4). 1 où P =  −2 0   1 1 0 −1  et donc 1 0

3) Soit m

1. Les formules de changement de bases permettent d’écrire A = PDP−1

en notant B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 ,

Am = matB (fm ) = P × matB0 (fm ) × P−1 = PDm P−1 .   v1 = e1 − 2e2 v2 = e1 + e3 4)  v3 = e1 − e2 m 1,   e2 = −v1 + v3 e1 = −v1 + 2v3 ⇔  e3 = v2 − e1   −1 −1  e2 = −v1 + v3 e1 = −v1 + 2v3 0 ⇔ . Donc P−1 =  0  e3 = v1 + v2 − 2v3 2 1  1 1  puis pour −2

matB0 (fm ) = Am = PDm P−1   1 1 1 =  −2 0 −1   0 1 0   0 1 4m =  0 0 −4m   0 1 0 ∀m

0 0 0

  0 0 −1 −1 1 1 0  0 0 1  m 0 4 2 1 −2   −1 −1 1 2 × 4m 4m  =  −2 × 4m −4m 0 0 1 2 1 −2 0 0  4m −4m 0

 −2 × 4m + 1 . 2 × 4m 1

2 × 4m m 1, matB0 (f ) =  −2 × 4m 0

 −2 × 4m + 1 . 2 × 4m 1

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5) Soit M = (mi,j )1

i,j 3

∈ M3 (R). 0 0 0   0 0 0 1 0 = 0 0 4 0 0 m2,2 4m3,2  0 0 m1,1 1 0   m2,1 0 4 m3,1  m1,2 m2,2 m3,2  m1,3 m2,3  m3,3

 m1,1 m1,2 m1,3 MD = DM ⇔  m2,1 m2,2 m2,3   m3,1 m3,2 m3,3    0 m1,2 4m1,3 ⇔  0 m2,2 4m2,3  =  0 m3,2 4m3,3 ⇔ M ∈ D3 (R).



0 m2,1 4m3,1

⇔