D EVOIR

LIBRE DE

M ATHÉMATIQUES-MPSI

Corrigé du devoir libre n◦ 5
M.Tarqi
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Exercice 1
Exercice 2
1. Prouvons d’abord que cette loi est correctement définie, c’est-à-dire que si x et y appartiennent à S, alors 1 + xy n’est pas nul. Dans le cas contraire, nous aurions xy = −1, d’où |x|.|y| = 1 donc un au moins des nombres |x| et |y| serait ≥ 1, ce qui est impossible, puisque x et y appartiennent tous deux à S et que S est l’ensemble des nombres réels dont la valeur absolue est < 1. La contradiction obtenue prouve que la loi ∗ est correctement définie.
2. Prouvons maintenant que cette loi est bien une loi de composition interne. L’ensemble S étant l’ensemble des nombres réels x tels que |x| < 1, il s’agit de prouver que si x, y sont deux nombres réels x+y tels que |x| < 1 et |y| < 1, alors
< 1 ce qui équivaut à |x + y| < |1 + xy| ou encore à
1 + xy x2 + 2xy + y 2 < 1 + 2xy + x2 y 2 , ce qui équivaut à y 2 (1 − x2 ) < 1 − x2 .
Cette dernière relation est vraie, car l’inégalité stricte y 2 < 1 (qui provient de ce que y appartient à S) peut être multipliée par le nombre strictement positif 1 − x2 (ce nombre est strictement positif parce que x appartient à S). Nous avons donc prouvé que la loi ∗ est une loi de composition interne.
Elle est associative, car le calcul montre que si x, y et z sont trois éléments de S, (x ∗ y) ∗ z et x ∗ (y ∗ z) x + y + z + xyz sont tous deux égaux à
. Il est clair que 0 est neutre pour la loi ∗ et que tout élément
1 + xy + xz + yz x de S admet −x pour symétrique selon cette loi, qui est donc bien une loi de groupe (évidemment commutatif). Exercice 3 Il suffit de montrer que tous les éléments non nuls de A sont inversibles. Soit a ∈ A non nul et soit ϕ l’application de A dans A définie par : ϕ(x) = ax. ϕ est injective, en effet si ϕ(x) = ϕ(y), alors ax = ay ou encore a(x − y) = 0A et comme A est intègre et a = 0, alors x − y = 0A , d’autre part A étant fini donc ϕ est bijective, et donc