APPLICATIONS DES ÉQUATIONS LOCALES.

QUELQUES APPLICATIONS DES ÉQUATIONS LOCALES DE LA
DYNAMIQUE DES FLUIDES.
I : Rappels des connaissances nécessaires.
1°) Les outils mathématiques.
 Formulation eulérienne du champ des accélérations.





Une autre expression de l’opérateur v  grad v :

Dv
v
=
+ (v  grad )(v ) .
Dt
t

1  v  grad (v )  grad  v 2   rot (v )  v .
2 

2°) Les équations fondamentales.

 div(  v )  0 .
t



L’équation de conservation de la masse :



Cas d’un écoulement incompressible : le champ des vitesses satisfait à : div(v )  0 .



L’équation de Navier – Stokes pour un fluide visqueux newtonien incompressible
Dv
  grad ( P)   g  (v ) . dans le champ de pesanteur : 
Dt



L’équation d’Euler pour l’écoulement parfait d’un fluide non visqueux dans le
Dv
  grad ( P)   g . champ de pesanteur : 
Dt



Forme simple de la relation de Bernoulli :
Pour deux points A et B d’une même ligne de courant, dans un écoulement parfait et stationnaire d’un fluide incompressible soumis au seul champ de pesanteur uniP v2 P v2 forme, on a : A  gz A  A  B  gzB  B .

2

2



Forme étendue de la relation de Bernoulli :
Dans un écoulement parfait, stationnaire et irrotationnel d'un fluide incompressible, soumis au seul champ de pesanteur uniforme, la quantité: P   gz  

v2
 C a même valeur
2

en tout point de l’écoulement.

II : Les cas incontournables.
1°) Écoulement de Poiseuille d’un fluide incompressible et visqueux.
On appelle écoulement de Poiseuille un écoulement laminaire et stationnaire d’un fluide visqueux, limité par une paroi immobile cylindrique, de section quelconque.
On considère un fluide visqueux, de viscosité dynamique incompressible de masse volumique . Ce fluide est supposé newtonien et on admet que l’écoulement est régi par l’équation locale de Navier – Stokes.

 Donner une forme simplifiée de l’équation de