MP*1

2010/2011

ENS Cachan
Première composition 1991
L’objet de ce joli problème est l’étude du comportement asymptotique d’une suite récurrente à laquelle le mathématicien hongrois Paul Erdös s’intéressa en 1985, avec quelques collaborateurs. Il s’agit de la suite définie par a0 = 1 et an = a[n/2] + a[n/3] + a[n/6] pour n ≥ 1, où la notation [·] désigne la partie entière. On montre facilement que la suite de terme général an n est majorée, et qu’elle est minorée par 1 (partie II). L’essentiel du problème est consacré à la preuve 12 de la convergence de cette suite, vers ln(432) ! Toutefois, lorsqu’on la visualise à l’aide de Maple, on a l’impression qu’elle oscille indéfiniment (voir la figure à la fin de ce texte) : il faut se méfier des évidences numériques... L’ingrédient essentiel de la preuve de la convergence de la suite de terme général an est le théorème n taubérien d’Ikehara (1931), auquel la partie III et l’essentiel de la partie IV sont consacrées, et dont voici un énoncé. Théorème 1. Soit f : R+ → R+ une fonction continue par morceaux et croissante. On suppose que la transformée de Laplace
+∞

F (s) =
0

f (t)e−st dt

est définie sur le demi-plan ouvert s > a > 0, et qu’il existe un réel > 0 tel que la fonction s → F (s) − s−a admette un prolongement continu au demi-plan fermé s ≥ a. Alors, f (t) ∼ eat quand t → +∞. De façon très générale, on appelle théorème taubérien (en hommage au mathématicien autrichien A. Tauber) un théorème qui permet de déduire un renseignement sur une fonction d’une information sur une de ses moyennes (ici : la transformée de Laplace). En 1932, N. Wiener, dans un important article, unifia la théorie taubérienne en la fondant sur la transformée de Fourier, et en en donnant plusieurs applications retentissantes, dont une preuve très directe du théorème des nombres premiers. Ikehara était un élève de Wiener.

Partie I
Dans cette partie, on a donc a0 = 1 et an = 2a[n/3] + 3a[n/9] pour n ≥ 1. 1) D’une part, b0 = a1 = 2a0