[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 2012

Enoncés

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Calcul matriciel
Opérations sur les matrices
Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1  . .  J =  . (1) .  . . 1 Vérifier J.A.J = σ(A).J. ··· 1

Calcul des puissances d’une matrice
Exercice 6 [ 01251 ] [correction] Calculer An pour n ∈ N et les matrices A suivantes : 1 1 a b cos θ − sin θ a) A = b) A = c) A = 0 2 0 a sin θ cos θ Exercice 7 [ 01252 ] [correction] On considère la matrice

 1 1 1 A= 0 1 1  0 0 1 

et on pose B = A − I. Calculer B n pour n ∈ N et en déduire l’expression de An . Exercice 2 [ 01248 ] [correction] Pour i, j, k, ∈ {1, . . . , n}, on note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de Mn (K) d’indices (i, j) et (k, ). Calculer Ei,j × Ek, . Exercice 3 [ 01249 ] [correction] Soit λ1 , . . . , λn des éléments de K, deux à deux distincts, et D = diag(λ1 , . . . , λn ). Déterminer les matrices de Mn (K) commutant avec D. Exercice 4 [ 01250 ] [correction] Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (K). Montrer que ∀B ∈ Mn (K), AB = BA ⇔ ∃λ ∈ K, A = λ.In Exercice 5 X MP Soit [correction] M= avec 0 d c b a et b + c Pour tout n 2, on note a c a + d. Mn = Démontrer que, pour tout n 2, bn + c n an + dn an cn bn dn b d ∈ M2 (R) Exercice 8 [ 01253 ] [correction] Calculer An pour  1 1 0 A= 0 1 1  0 0 1 de deux manières différentes. Exercice 9 [ 01254 ] [correction] On considère la matrice A= 

−1 3

−2 4

[ 00403 ]

a) Calculer A2 − 3A + 2I. En déduire que A est inversible et calculer son inverse. b) Pour n 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 − 3X + 2. c) En déduire l’expression de la matrice An . Exercice 10 X MP Soit [correction] 1 0 . . . 0 ··· 1 .. . ··· ··· .. 0 1 . . . . . . 1     ∈ Mn (R)  

[ 02929 ]

   A=  

.

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