Calcul matriciel
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Le calcul matricielDans tout ce cours, - K désigne ou . - i,j = 1 si i = j ou 0 si i ≠ j (symbole de Kronecker)
I)
Espaces vectoriels Mn,p(K)
1) Rappel
•
A = (ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p B = (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p A + B = (ai , j ) + (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ λ A = (λ ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p
j ≤ p
2) Matrices particulières
• Une matrice carrée de format (n,n) est notée : Mn(K) • La matrice nulle de format (n,p) est notée : 0(n,p) = (ai,j) avec ai,j = 0 pour tout i et j de [|1, n|] x [|1, p|] • La matrice élémentaire de format (n,p). Soit (i, j) ∈ [|1, n|] x [|1, p|] fixé alors :
0 Ei , j = 0 0 0 0 1
0 ∈ Mn , p ( K ) 0
Dans Mn, p(K), il y a n.p matrices élémentaires.
Famille des matrices élémentaires : (E1,1 ; E1,2 ; … ; E1,p ; E2,1 ; … ; E2,p ; En,1 ; … ; En,p) Pour i et j fixés,
Ei , j = (ak , l )1 ≤ k ≤ n , 1 ≤ l ≤ p =
ak , l = 1 ak , l = 0 si k ≠ i ou l ≠ j
Donc, ∀( k , l ) ∈ [|1, n |] × [|1, p |] le coefficient d'indice (k,l) est : ak , l = δ i , k × δ j , l
Dans Mn(K), si A = (ai , j ) , les coefficients (a1,1, a2,2 , … , an,n) sont les coefficients diagonaux.
1 ≤ i, j ≤ n
• Matrice diagonale : A est une matrice diagonale si ses coefficients en dehors de la diagonale sont tous nuls.
∀(i, j ) ∈ [|1, n |], i ≠ j
Exemple :
( ai , j ) = 0
a1,1 A=
0 an , n
α1
=
0 αn 0
Autres exemples :
0
0( n , n ) est diagonale. 1
In =
0
1
est diagonale
0
Les coefficients de In sont les (ai , j ) =
ai , j = 1 si i = j ai , j = 0 si i ≠ j
Donc, ( ai , j ) = δ i , j
• Matrice scalaire : A est une matrice scalaire si A est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont tous égaux. α A=
0 α = α In
0
In et 0(n,n) sont scalaires. Les matrices scalaires sont les matrices de la forme In pour tout scalaire. • Matrice triangulaire : A est triangulaire supérieure si A ∈ Mn(K) avec des coefficients nuls sous la diagonale.
∀(i, j ) ∈ [|1, n |]2