Calcul propositionnel

Les briques de base du bˆtiment math´matique sont les assertions. En Logique, on peut d´finir tr`s pr´cis´ment ce qu’on entend par une assertion. Comme ca nous ´loignerait trop de notre chemin, on se contentera d’une d´finition naive : une assertion est une phrase qui est vraie ou qui est fausse. Par exemple, la phrase “le nombre 6 est pair” est une assertion. Ou encore, la phrase “le nombre 141 est premier” est une assertion. Il n’est pas important de se souvenir de ce que ca signifie d’ˆtre premier, il suffit de savoir qu’un nombre est premier ou qu’il ne l’est pas, pour comprendre qu’il s’agit effectivement d’une assertion. Un exemple d’une phrase qui n’est pas une assertion est la phrase “le nombre x est impair”. En effet, la v´rit´ de cette phrase d´pend de l’inconnue x dont on ne sait rien. La phrase n’est donc ni vraie ni fausse, et n’est donc pas une assertion. Par contre, la phrase “ il existe un nombre x tel que x est impair” est bien une assertion. De plus, elle est vraie car le nombre 5, par exemple, est bien impair. On peut composer des assertions simples pour en faire des assertions de plus en plus compliqu´es grˆce aux connecteurs logiques. Dans un premier temps, il y a la n´gation, la conjonction et la disjonction. Lorsque A est une assertion, sa n´gation, not´e (non A) est encore une assertion. Par exemple, la n´gation de l’assertion “le nombre 141 est premier” est l’assertion “(non le nombre 141 est premier)”, ou en fran¸ais “le nombre 141 n’est pas premier”. La n´gation d’une assertion A est vraie si A est fausse. Lorsque A et B sont des assertions, la disjonction de A et B est l’assertion (A ou B), la conjonction de A et B est l’assertion (A et B). La disjonction de deux assertions est vraie si au moins l’une des deux assertions est vraie. La conjonction de deux assertions est vraie si les deux assertions sont